Determine os pontos máximo e mínimo absolutos de
para a região delimitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos da função
na região delimitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, como derivadas parciais e condições de fronteira.
Passo 2
Vamos começar identificando a região de interesse no primeiro quadrante, onde
e
. As curvas que delimitam essa região são
e
. Vamos plotar essas curvas para visualizar a área onde iremos procurar os pontos máximos e mínimos.
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos internos, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualamos a zero:
Como
nunca é zero, temos que
e
. Contudo, no primeiro quadrante,
e
, então não há pontos críticos internos.
Passo 4
Agora, vamos analisar as fronteiras da região. Temos duas curvas:
- Curva
: Vamos substituir essa expressão na função :
Encontramos o máximo dessa função derivando em relação a
e igualando a zero:
Então,
. O ponto é
.
- Curva
: Podemos parametrizar essa curva para expressar em função de :
Substituímos na função
:
Para encontrar máximos e mínimos, precisaríamos derivar essa expressão, o que pode ser complexo. Em vez disso, vamos avaliar a função nos pontos extremos da curva.
Passo 5
Os pontos extremos da curva
no primeiro quadrante são
e
.
Calculamos
nesses pontos:
Passo 6
Agora, comparamos os valores encontrados:
- No ponto
:
- Nos pontos
e :
Resposta
O ponto de máximo absoluto é
com
, e os pontos de mínimo absoluto são
e
com
.