Determine os pontos máximo e mínimo absolutos de f(x, y) = e^(x y) para a região delimitada pelas curvas y = 2 - x e x^3 + y^3 = 8 no primeiro quadrante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Queremos encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos da função na região delimitada pelas curvas e no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, como derivadas parciais e condições de fronteira.

Passo 2

Vamos começar identificando a região de interesse no primeiro quadrante, onde e . As curvas que delimitam essa região são e . Vamos plotar essas curvas para visualizar a área onde iremos procurar os pontos máximos e mínimos.

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos internos, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e igualamos a zero:
Como nunca é zero, temos que e . Contudo, no primeiro quadrante, e , então não há pontos críticos internos.

Passo 4

Agora, vamos analisar as fronteiras da região. Temos duas curvas:
  1. Curva : Vamos substituir essa expressão na função :
Encontramos o máximo dessa função derivando em relação a e igualando a zero:
Então, . O ponto é .
  1. Curva : Podemos parametrizar essa curva para expressar em função de :
Substituímos na função :
Para encontrar máximos e mínimos, precisaríamos derivar essa expressão, o que pode ser complexo. Em vez disso, vamos avaliar a função nos pontos extremos da curva.

Passo 5

Os pontos extremos da curva no primeiro quadrante são e .
Calculamos nesses pontos:

Passo 6

Agora, comparamos os valores encontrados:
  • No ponto :
  • Nos pontos e :

Resposta

O ponto de máximo absoluto é com , e os pontos de mínimo absoluto são e com .

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