Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pela reta
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o volume do sólido que se forma ao girar, em torno do eixo
, a região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pela reta
. Para resolver isso, vamos utilizar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica eficiente para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites da região que vamos girar. O gráfico de
é uma parábola que se abre para baixo. Para encontrar onde essa parábola intercepta o eixo
, resolvemos a equação
:
Então, a parábola cruza o eixo
nos pontos
e
. A região que vamos considerar está entre
e
, já que a reta
é um dos limites.
Passo 3
Como vamos girar a região em torno do eixo
, o método das cascas cilíndricas é mais adequado. A fórmula para o volume usando esse método é:
onde:
-
é a distância do elemento à linha de rotação (eixo ), -
é a função que descreve o limite superior da região, -
e são os limites de integração.
Passo 4
Identificando os componentes na nossa situação:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Avaliado de
a
:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos o resultado da integral por
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcular, se convergir,
Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido no interior entre o plano
e a esfera de raio 2 , isto é, acima do plano
. Ilustre a região de integração, isto é, a região limitada pelas superfícies.
Uma placa fina de metal, localizada no plano
, tem temperatura
no ponto
. As curvas de nível de
são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por
Determine o comprimento da curva
.