Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pela reta .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o volume do sólido que se forma ao girar, em torno do eixo , a região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pela reta . Para resolver isso, vamos utilizar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica eficiente para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites da região que vamos girar. O gráfico de é uma parábola que se abre para baixo. Para encontrar onde essa parábola intercepta o eixo , resolvemos a equação :
Então, a parábola cruza o eixo nos pontos e . A região que vamos considerar está entre e , já que a reta é um dos limites.

Passo 3

Como vamos girar a região em torno do eixo , o método das cascas cilíndricas é mais adequado. A fórmula para o volume usando esse método é:
onde:
  • é a distância do elemento à linha de rotação (eixo ),
  • é a função que descreve o limite superior da região,
  • e são os limites de integração.

Passo 4

Identificando os componentes na nossa situação:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Avaliado de a :

Passo 7

Finalmente, multiplicamos o resultado da integral por :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcular, se convergir,
Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido no interior entre o plano e a esfera de raio 2 , isto é, acima do plano . Ilustre a região de integração, isto é, a região limitada pelas superfícies.
Uma placa fina de metal, localizada no plano , tem temperatura no ponto . As curvas de nível de são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por
Determine o comprimento da curva
.