Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y = 3x - x^2, pelo eixo x e pela reta x = 1.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar o volume do sólido que se forma ao girar, em torno do eixo y, a região limitada pelo gráfico de , pelo eixo x e pela reta x = 1. Para resolver isso, vamos utilizar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica eficiente para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites da região que vamos girar. O gráfico de é uma parábola que se abre para baixo. Para encontrar onde essa parábola intercepta o eixo x, resolvemos a equação :
Então, a parábola cruza o eixo x nos pontos x = 0 e . A região que vamos considerar está entre x = 0 e x = 1, já que a reta x = 1 é um dos limites.

Passo 3

Como vamos girar a região em torno do eixo y, o método das cascas cilíndricas é mais adequado. A fórmula para o volume usando esse método é:
onde:
  • x é a distância do elemento à linha de rotação (eixo y),
  • f(x) é a função que descreve o limite superior da região,
  • a e b são os limites de integração.

Passo 4

Identificando os componentes na nossa situação:
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Avaliado de 0 a 1:

Passo 7

Finalmente, multiplicamos o resultado da integral por :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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