Uma placa fina de metal, localizada no plano , tem temperatura no ponto . As curvas de nível de são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma placa fina de metal no plano , onde a temperatura em cada ponto é dada pela função . As curvas onde a temperatura é constante são chamadas de isotérmicas. Nosso objetivo é desenhar algumas dessas isotérmicas para essa função de temperatura.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível (isotérmicas) e como elas se relacionam com a função dada. Vamos também usar conceitos básicos de álgebra para manipular a função e encontrar as equações das curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma isotérmica para uma determinada temperatura . Isso significa que queremos encontrar todos os pontos onde a temperatura é igual a . Portanto, estabelecemos a equação:

Passo 3

Substituindo a função de temperatura na equação acima, temos:
Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para e em termos de , o que nos dará a equação da isotérmica correspondente à temperatura .

Passo 4

Vamos resolver a equação para facilitar o entendimento:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Agora, dividimos ambos os lados por :
Em seguida, subtraímos 1 de ambos os lados:

Passo 5

Observamos que a equação obtida é da forma:
onde . Essa é a equação de um círculo de raio centrado na origem . Portanto, cada isotérmica correspondente a uma temperatura é um círculo com raio determinado por .

Passo 6

Para esboçar algumas isotérmicas, vamos escolher diferentes valores de e calcular o correspondente :
  1. Quando :
Então, a isotérmica é um círculo de raio 1.
  1. Quando :
Isotérmica com raio aproximadamente 1,73.
  1. Quando :
Isotérmica com raio 2.
  1. Quando :
Isotérmica com raio 3.

Resposta

As isotérmicas para a função de temperatura dada são círculos centrados na origem com raios crescentes à medida que a temperatura diminui. Por exemplo:
  • Para , raio .
  • Para , raio aproximadamente .
  • Para , raio .
  • Para , raio .
O esboço dessas isotérmicas consiste em desenhar círculos concêntricos no plano com os respectivos raios calculados.

Exercícios relacionados

Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pela reta .
Calcular, se convergir,
Determine o comprimento da curva
.
Seja a região do plano delimitada pelas curvas de equações e . Calcule