Uma placa fina de metal, localizada no plano
, tem temperatura
no ponto
. As curvas de nível de
são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma placa fina de metal no plano
, onde a temperatura em cada ponto
é dada pela função
. As curvas onde a temperatura é constante são chamadas de isotérmicas. Nosso objetivo é desenhar algumas dessas isotérmicas para essa função de temperatura.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível (isotérmicas) e como elas se relacionam com a função dada. Vamos também usar conceitos básicos de álgebra para manipular a função e encontrar as equações das curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter uma isotérmica para uma determinada temperatura
. Isso significa que queremos encontrar todos os pontos
onde a temperatura
é igual a
. Portanto, estabelecemos a equação:
Passo 3
Substituindo a função de temperatura na equação acima, temos:
Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para
e
em termos de
, o que nos dará a equação da isotérmica correspondente à temperatura
.
Passo 4
Vamos resolver a equação para facilitar o entendimento:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Em seguida, subtraímos 1 de ambos os lados:
Passo 5
Observamos que a equação obtida é da forma:
onde
. Essa é a equação de um círculo de raio
centrado na origem
. Portanto, cada isotérmica correspondente a uma temperatura
é um círculo com raio determinado por
.
Passo 6
Para esboçar algumas isotérmicas, vamos escolher diferentes valores de
e calcular o correspondente
:
- Quando
:
Então, a isotérmica é um círculo de raio 1.
- Quando
:
Isotérmica com raio aproximadamente 1,73.
- Quando
:
Isotérmica com raio 2.
- Quando
:
Isotérmica com raio 3.
Resposta
As isotérmicas para a função de temperatura dada são círculos centrados na origem com raios crescentes à medida que a temperatura
diminui. Por exemplo:
- Para
, raio . - Para
, raio aproximadamente . - Para
, raio . - Para
, raio .
O esboço dessas isotérmicas consiste em desenhar círculos concêntricos no plano
com os respectivos raios calculados.
Exercícios relacionados
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pela reta
.
Calcular, se convergir,
Determine o comprimento da curva
.
Seja
a região do plano delimitada pelas curvas de equações
e
. Calcule