Uma placa fina de metal, localizada no plano x y, tem temperatura T(x, y) no ponto (x, y). As curvas de nível de T são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por T(x, y) = 100 / (1 + x^2 + y^2)

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma placa fina de metal no plano xy, onde a temperatura em cada ponto (x, y) é dada pela função . As curvas onde a temperatura é constante são chamadas de isotérmicas. Nosso objetivo é desenhar algumas dessas isotérmicas para essa função de temperatura.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível (isotérmicas) e como elas se relacionam com a função dada. Vamos também usar conceitos básicos de álgebra para manipular a função e encontrar as equações das curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter uma isotérmica para uma determinada temperatura . Isso significa que queremos encontrar todos os pontos (x, y) onde a temperatura T(x, y) é igual a . Portanto, estabelecemos a equação:

Passo 3

Substituindo a função de temperatura na equação acima, temos:
Agora, nosso objetivo é resolver essa equação para x e y em termos de , o que nos dará a equação da isotérmica correspondente à temperatura .

Passo 4

Vamos resolver a equação para facilitar o entendimento:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:
Agora, dividimos ambos os lados por :
Em seguida, subtraímos 1 de ambos os lados:

Passo 5

Observamos que a equação obtida é da forma:
onde . Essa é a equação de um círculo de raio R centrado na origem (0,0). Portanto, cada isotérmica correspondente a uma temperatura é um círculo com raio determinado por .

Passo 6

Para esboçar algumas isotérmicas, vamos escolher diferentes valores de e calcular o correspondente R:
  1. Quando :
Então, a isotérmica é um círculo de raio 1.
  1. Quando :
Isotérmica com raio aproximadamente 1,73.
  1. Quando :
Isotérmica com raio 2.
  1. Quando :
Isotérmica com raio 3.

Resposta

As isotérmicas para a função de temperatura dada são círculos centrados na origem com raios crescentes à medida que a temperatura diminui. Por exemplo:
  • Para , raio 1.
  • Para , raio aproximadamente .
  • Para , raio .
  • Para , raio .
O esboço dessas isotérmicas consiste em desenhar círculos concêntricos no plano xy com os respectivos raios calculados.

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