Determine o comprimento da curva
y = (4 * raiz(2)) / 3 * x^(3 / 2) - 1, 0 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva definida por no intervalo de até . Para isso, vamos usar o cálculo de comprimentos de curvas, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de uma curva entre e . A fórmula é:
Aqui, é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Dada a função:
Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento da curva:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Para integrar essa express��o, usamos uma substituição , então ou .
Quando , .
Quando , .

Passo 7

Com a substituição, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar :
Então,

Passo 9

Calculando os valores:
Então,

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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