Determine o comprimento da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva definida por
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar o cálculo de comprimentos de curvas, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de uma curva
entre
e
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Dada a função:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:
Passo 5
Substituindo na fórmula do comprimento da curva:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Para integrar essa express��o, usamos uma substituição
, então
ou
.
Quando
,
.
Quando
,
.
Passo 7
Com a substituição, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar
:
Então,
Passo 9
Calculando os valores:
Então,
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.
Exercícios relacionados
Uma placa fina de metal, localizada no plano
, tem temperatura
no ponto
. As curvas de nível de
são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pela reta
.
Seja
a região do plano delimitada pelas curvas de equações
e
. Calcule
A região limitada pela curva
e pela reta
é girada em torno do eixo
para gerar um sólido. Determine o volume do sólido.