Determine o comprimento da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva definida por
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar o cálculo de comprimentos de curvas, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento de uma curva
entre
e
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Dada a função:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos elevar a derivada ao quadrado:
Passo 5
Substituindo na fórmula do comprimento da curva:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Para integrar essa express��o, usamos uma substituição
, então
ou
.
Quando
,
.
Quando
,
.
Passo 7
Com a substituição, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar
:
Então,
Passo 9
Calculando os valores:
Então,
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.