Calcular, se convergir,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integrais definidas que vão do infinito negativo ao infinito positivo. Para resolver isso, vamos precisar usar o conhecimento sobre integrais de funções racionais e entender como funcionam as integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de função que estamos integrando. A função é uma função racional, onde o denominador é um polinômio de segundo grau. Para integrar esse tipo de função, usamos uma fórmula conhecida:
Aqui, é uma constante positiva e é a constante de integração.

Passo 3

No nosso caso, o denominador é . Podemos compará-lo com a fórmula geral e identificar que . Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da integral indefinida ao nosso caso:

Passo 5

Como queremos calcular a integral definida de a , precisamos avaliar os limites dessa antiderivada nos extremos.

Passo 6

Vamos analisar os limites:
  • Quando tende a :
  • Quando tende a :

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão da integral:

Resposta

A integral converge e vale .

Exercícios relacionados

Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido no interior entre o plano e a esfera de raio 2 , isto é, acima do plano . Ilustre a região de integração, isto é, a região limitada pelas superfícies.
Resolva a integral indefinida
b)
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pela reta .
Uma placa fina de metal, localizada no plano , tem temperatura no ponto . As curvas de nível de são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por