Calcular, se convergir, I=integral-infty^infty d xx^2+7

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com integrais definidas que vão do infinito negativo ao infinito positivo. Para resolver isso, vamos precisar usar o conhecimento sobre integrais de funções racionais e entender como funcionam as integrais impróprias.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de função que estamos integrando. A função integral dxx^2 + a^2 = 1a tan^-1(xa) + C é uma função racional, onde o denominador é um polinômio de segundo grau. Para integrar esse tipo de função, usamos uma fórmula conhecida:
Aqui, é uma constante positiva e é a constante de integração.

Passo 3

No nosso caso, o denominador é . Podemos compará-lo com a fórmula geral e identificar que . Portanto, .

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da integral indefinida ao nosso caso:
integral dxx^2 + 7 = 1raiz7 tan^-1(xraiz7) + C

Passo 5

Como queremos calcular a integral definida de I = [ 1raiz7 tan^-1(xraiz7) ]-infty^infty a , precisamos avaliar os limites dessa antiderivada nos extremos.

Passo 6

Vamos analisar os limites:
  • Quando tan^-1(inftyraiz7) = pi2 tende a tan^-1(-inftyraiz7) = -pi2 :
  • Quando tende a :

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão da integral:
I = 1raiz7 ( pi2 - ( -pi2 ) ) = 1raiz7 ( pi2 + pi2 ) = 1raiz7 cdot pi = piraiz7

Resposta

A integral converge e vale .

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