Calcular, se convergir,
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com integrais definidas que vão do infinito negativo ao infinito positivo. Para resolver isso, vamos precisar usar o conhecimento sobre integrais de funções racionais e entender como funcionam as integrais impróprias.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de função que estamos integrando. A função
é uma função racional, onde o denominador é um polinômio de segundo grau. Para integrar esse tipo de função, usamos uma fórmula conhecida:
Aqui,
é uma constante positiva e
é a constante de integração.
Passo 3
No nosso caso, o denominador é
. Podemos compará-lo com a fórmula geral
e identificar que
. Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula da integral indefinida ao nosso caso:
Passo 5
Como queremos calcular a integral definida de
a
, precisamos avaliar os limites dessa antiderivada nos extremos.
Passo 6
Vamos analisar os limites:
- Quando
tende a :
- Quando
tende a :
Passo 7
Substituindo esses valores na expressão da integral:
Resposta
A integral converge e vale
.
Exercícios relacionados
Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido no interior entre o plano
e a esfera de raio 2 , isto é, acima do plano
. Ilustre a região de integração, isto é, a região limitada pelas superfícies.
Resolva a integral indefinida
b)
b)
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pela reta
.
Uma placa fina de metal, localizada no plano
, tem temperatura
no ponto
. As curvas de nível de
são chamadas isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função temperatura for dada por