Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido no interior entre o plano
e a esfera de raio 2 , isto é, acima do plano
. Ilustre a região de integração, isto é, a região limitada pelas superfícies.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para usar coordenadas esféricas para encontrar o volume de um sólido que está dentro de uma esfera de raio 2 e acima do plano
. Basicamente, queremos saber quanto espaço essa parte da esfera ocupa. Vamos usar matemática de coordenadas esféricas e um pouco de cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo no plano , medindo a partir do eixo . -
: o ângulo a partir do eixo .
A relação entre as coordenadas cartesianas
e esféricas
é dada por:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração para cada coordenada:
-
: Como estamos lidando com uma esfera inteira em torno do eixo , varia de a . -
: Queremos apenas a parte da esfera que está acima do plano . Sabemos que . No nosso caso, (raio da esfera), então:
Portanto,
varia de
a
.
-
: Dentro da esfera de raio 2, então varia de a .
Passo 4
Agora, vamos montar a integral para calcular o volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integremos em relação a
:
Passo 6
Em seguida, integremos em relação a
:
Passo 7
Por último, integremos em relação a
:
Passo 8
Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
Resolva a integral indefinida
b)
b)
Faça um esboço do domínio de cada função:
©
©
Calcular, se convergir,
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região limitada pelo gráfico de
, pelo eixo
e pela reta
.