Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido no interior entre o plano e a esfera de raio 2 , isto é, acima do plano . Ilustre a região de integração, isto é, a região limitada pelas superfícies.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para usar coordenadas esféricas para encontrar o volume de um sólido que está dentro de uma esfera de raio 2 e acima do plano . Basicamente, queremos saber quanto espaço essa parte da esfera ocupa. Vamos usar matemática de coordenadas esféricas e um pouco de cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores:
  • : a distância do ponto até a origem.
  • : o ângulo no plano , medindo a partir do eixo .
  • : o ângulo a partir do eixo .
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração para cada coordenada:
  • : Como estamos lidando com uma esfera inteira em torno do eixo , varia de a .
  • : Queremos apenas a parte da esfera que está acima do plano . Sabemos que . No nosso caso, (raio da esfera), então:
Portanto, varia de a .
  • : Dentro da esfera de raio 2, então varia de a .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral para calcular o volume:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integremos em relação a :

Passo 6

Em seguida, integremos em relação a :

Passo 7

Por último, integremos em relação a :

Passo 8

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

O volume do sólido é .

Exercícios relacionados

Resolva a integral indefinida
b)
Faça um esboço do domínio de cada função:
©
Calcular, se convergir,
Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pela reta .