Ache o volume do sólido limitado pelos planos x = y + 2z + 1, x = 0, y = 0, z = 0 e 3y + z - 3 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar o volume de um sólido que é limitado por alguns planos específicos: , , , e . Isso envolve noções de geometria espacial e cálculo, principalmente o uso de integrais triplas para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor os limites desse sólido. Temos cinco planos que definem as fronteiras:
  1. (plano yz)
  2. (plano xz)
  3. (plano xy)
  4. que pode ser reescrito como
Esses planos vão delimitar uma região no espaço tridimensional da qual vamos extrair o volume.

Passo 3

Vamos encontrar as interseções desses planos para determinar os limites das variáveis , e .
Primeiro, vamos ver onde intercepta o plano (base). Igualando a zero:
Então, no plano , temos um ponto de interseção em .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de . Como varia de 0 a 1, já que no ele vai de 0 a 1. Para cada valor de , vai de 0 até .
E para cada par , varia de 0 até .

Passo 5

Com esses limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume :

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral se torna:

Passo 7

Resolvendo a segunda integral:
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Passo 8

Simplificando a expressão:
Então, a integral agora é:

Passo 9

Resolvendo a última integral:
Somando tudo:

Resposta

O volume do sólido é igual a 5 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule a integral trocando a ordem de integração:
integral0^raizpi integraly^raizpi cos (x^2) d x d y
Calcule os limites a seguir: f) lim x +infty[x(raizx^2-1-x)]
Ache o volume do sólido do primeiro octante, limitado pelos cilindros x^2 + y^2 = 4 e x^2 + z^2 = 4.
Nos exercícios 21 - 28 , expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais.
integral theta^4-4 theta^3+2 theta^2-3 theta+1(theta^2+1)^3 d theta