Ache o volume do sólido limitado pelos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar o volume de um sólido que é limitado por alguns planos específicos:
,
,
,
e
. Isso envolve noções de geometria espacial e cálculo, principalmente o uso de integrais triplas para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor os limites desse sólido. Temos cinco planos que definem as fronteiras:
-
-
(plano yz) -
(plano xz) -
(plano xy) -
que pode ser reescrito como
Esses planos vão delimitar uma região no espaço tridimensional da qual vamos extrair o volume.
Passo 3
Vamos encontrar as interseções desses planos para determinar os limites das variáveis
,
e
.
Primeiro, vamos ver onde
intercepta o plano
(base). Igualando
a zero:
Então, no plano
, temos um ponto de interseção em
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de
. Como
varia de 0 a 1, já que no
ele vai de 0 a 1. Para cada valor de
,
vai de 0 até
.
E para cada par
,
varia de 0 até
.
Passo 5
Com esses limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume
:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral se torna:
Passo 7
Resolvendo a segunda integral:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Então, a integral agora é:
Passo 9
Resolvendo a última integral:
Somando tudo:
Resposta
O volume do sólido é igual a 5 unidades cúbicas.