Ache o volume do sólido do primeiro octante, limitado pelos cilindros .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são todos positivos) e que é limitado por dois cilindros: e . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, que são ferramentas para calcular volumes de figuras tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as restrições dadas pelos cilindros. O cilindro é um cilindro circular com raio 2, estendendo-se ao longo do eixo . Isso significa que, para cada valor de , a projeção do sólido no plano é um círculo de raio 2.
Já o cilindro é semelhante, mas estende-se ao longo do eixo . Para cada valor de , a projeção no plano é um círculo de raio 2.
Como estamos no primeiro octante, , e são todos maiores ou iguais a zero.
Passo 3
Vamos estabelecer os limites de integração para , e . Primeiro, observamos que varia de 0 a 2, já que quando .
Para um valor fixo de , varia de 0 até , de acordo com a equação do cilindro .
Da mesma forma, para um valor fixo de , varia de 0 até , conforme a equação do cilindro .
Passo 4
Agora, podemos escrever a integral tripla para calcular o volume:
Vamos resolver isso passo a passo começando pela integral mais interna.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, nossa integral fica:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a :
Agora, nossa integral reduz-se a:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a :
Calculando:
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante limitado pelos cilindros e é unidades cúbicas.