Calcule os limites a seguir: f) lim x +infty[x(raizx^2-1-x)]

Passo 1

Estamos querendo calcular o limite de para mais infinito na expressão . Isso envolve entender como funções com radicais se comportam quando cresce muito. Vamos precisar simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar . Uma boa estratégia aqui é multiplicar e dividir por o conjugado dessa expressão, que é . Isso ajuda a eliminar a raiz do denominador.

Passo 3

Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado:
raizx^2 -1 -x = (raizx^2 -1 -x)(raizx^2 -1 +x)raizx^2 -1 +x = (x^2 -1) - x^2raizx^2 -1 +x = -1raizx^2 -1 +x
Agora a expressão ficou mais simples, sem radicais no numerador.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
x ( raizx^2 -1 -x ) = x cdot -1raizx^2 -1 +x = -xraizx^2 -1 +x
Agora temos uma fração que podemos simplificar ainda mais.

Passo 5

Vamos dividir o numerador e o denominador por -xraizx^2 -1 +x = -1raiz1 - 1x^2 +1 para facilitar o cálculo do limite:
Isso ajuda a ver o que acontece quando tende ao infinito.

Passo 6

Quando raiz1 - 0 = 1 vai para mais infinito, -11 +1 = -12 tende a zero. Portanto, a expressão dentro da raiz fica:
Substituindo isso na fração:

Resposta

O limite é .

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