Nos exercícios 21 - 28 , expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral meio complicada aqui:
O conteúdo envolvido aqui é integração de frações racionais usando frações parciais. Pra resolver isso, vamos precisar quebrar essa fração complicada em parcelas mais simples que a gente sabe integrar direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar os graus do numerador e do denominador. O grau do numerador é 4 (por causa do ) e o grau do denominador é 6 (porque ).
Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não precisamos fazer divisão polinomial. Vamos direto para a decomposição em frações parciais.
Passo 3
A ideia das frações parciais é escrever a fração original como uma soma de termos mais simples. Como o denominador é , que é um fator repetido, a gente vai considerar termos até a terceira potência desse fator.
Então, vamos supor que:
Aqui, , , , , e são constantes que a gente precisa encontrar.
Passo 4
Vamos multiplicar os dois lados da equação por pra eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar cada termo do lado direito.
Passo 5
Primeiro, expandindo :
Então, substituindo na equação:
Agora, vamos distribuir as multiplicações:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos organizar os termos por potência de :
Igualando aos termos do lado esquerdo (), temos o seguinte sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver o sistema:
A = 0, B = 1, C = -4, D = 0, E = 1, F = 0
Então, os valores são:
Passo 8
Substituindo os valores encontrados de volta na decomposição das frações parciais: