Nos exercícios 21 - 28 , expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais.
integral theta^4-4 theta^3+2 theta^2-3 theta+1(theta^2+1)^3 d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral meio complicada aqui:
integral theta^4 - 4theta^3 + 2theta^2 - 3theta + 1(theta^2 + 1)^3 , dtheta
O conteúdo envolvido aqui é integração de frações racionais usando frações parciais. Pra resolver isso, vamos precisar quebrar essa fração complicada em parcelas mais simples que a gente sabe integrar direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar os graus do numerador e do denominador. O grau do numerador é 4 (por causa do ) e o grau do denominador é 6 (porque ).
Como o grau do numerador é menor que o do denominador, não precisamos fazer divisão polinomial. Vamos direto para a decomposição em frações parciais.

Passo 3

A ideia das frações parciais é escrever a fração original como uma soma de termos mais simples. Como o denominador é theta^4 - 4theta^3 + 2theta^2 - 3theta + 1(theta^2 + 1)^3 = Atheta + Btheta^2 + 1 + Ctheta + D(theta^2 + 1)^2 + Etheta + F(theta^2 + 1)^3 , que é um fator repetido, a gente vai considerar termos até a terceira potência desse fator.
Então, vamos supor que:
Aqui, , , , , e são constantes que a gente precisa encontrar.

Passo 4

Vamos multiplicar os dois lados da equação por theta^4 - 4theta^3 + 2theta^2 - 3theta + 1 = (Atheta + B)(theta^2 + 1)^2 + (Ctheta + D)(theta^2 + 1) + (Etheta + F) pra eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar cada termo do lado direito.

Passo 5

Primeiro, expandindo (theta^2 + 1)^2 = theta^4 + 2theta^2 + 1 :
theta^4 - 4theta^3 + 2theta^2 - 3theta + 1 = (Atheta + B)(theta^4 + 2theta^2 + 1) + (Ctheta + D)(theta^2 + 1) + Etheta + F
Então, substituindo na equação:
= Atheta cdot theta^4 + Atheta cdot 2theta^2 + Atheta cdot 1 + B cdot theta^4 + B cdot 2theta^2 + B cdot 1 + Ctheta cdot theta^2 + Ctheta cdot 1 + D cdot theta^2 + D cdot 1 + Etheta + F
Agora, vamos distribuir as multiplicações:
= Atheta^5 + 2Atheta^3 + Atheta + Btheta^4 + 2Btheta^2 + B + Ctheta^3 + Ctheta + Dtheta^2 + D + Etheta + F
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos organizar os termos por potência de = Atheta^5 + Btheta^4 + (2A + C)theta^3 + (2B + D)theta^2 + (A + C + E)theta + (B + D + F) :
A = 0 & (theta^5) B = 1 & (theta^4) 2A + C = -4 & (theta^3) 2B + D = 2 & (theta^2) A + C + E = -3 & (theta) B + D + F = 1 & (constante)
Igualando aos termos do lado esquerdo ( ), temos o seguinte sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver o sistema:
  1. A = 0, B = 1, C = -4, D = 0, E = 1, F = 0
Então, os valores são:

Passo 8

Substituindo os valores encontrados de volta na decomposição das frações parciais:
theta^4 - 4theta^3 + 2theta^2 - 3theta + 1(theta^2 + 1)^3 = 0theta + 1theta^2 + 1 + -4theta + 0(theta^2 + 1)^2 + 1theta + 0(theta^2 + 1)^3
Simplificando:
= 1theta^2 + 1 - 4theta(theta^2 + 1)^2 + theta(theta^2 + 1)^3

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1theta^2 + 1 , dtheta - 4 integral theta(theta^2 + 1)^2 , dtheta + integral theta(theta^2 + 1)^3 , dtheta
Vamos resolver cada integral:
  1. Para , usamos substituição:
    • Seja , então ou
    • A integral fica
    • Multiplicando por -4:
  2. Para , também usamos substituição:
    • Seja , então ou
    • A integral fica

Passo 10

Juntando todas as integrais:
tan^-1(theta) + 2theta^2 + 1 - 14(theta^2 + 1)^2 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral theta^4 - 4theta^3 + 2theta^2 - 3theta + 1(theta^2 + 1)^3 , dtheta = tan^-1(theta) + 2theta^2 + 1 - 14(theta^2 + 1)^2 + C

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