Calcule a integral trocando a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral trocando a ordem de integração. Primeiro, vamos resumir o que foi pedido:
Enunciado: Calcular a integral dupla
.
Conteúdo: Aqui estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas e mudança da ordem de integração.
O que vamos precisar: Entender como visualizar a região de integração e como trocar a ordem das integrais para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de
até
, e para cada
,
varia de
até
. Isso significa que estamos olhando para a área acima da linha
no intervalo de
a
para ambos
e
.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Agora, vamos fixar
primeiro e ver para quais valores
varia. Observando a região, para um dado
,
vai de
até
. Além disso,
ainda varia de
a
.
Passo 4
Com a nova ordem, a integral fica:
Isso simplifica a parte interna da integral, já que
não depende de
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Então, a integral dupla agora é:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral simples. Vamos usar uma substituição:
Substituindo na integral:
Passo 7
Vamos calcular a integral de
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral vale 0.
Exercícios relacionados
Calcule os limites a seguir:
Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva
no ponto (1, 3).
Dica: Utilize as regras de derivação e a tabela de derivadas elementares para calcular mt (obtenha a fórmula geral da derivada e então a valore no ponto de interesse).
Dica: Utilize as regras de derivação e a tabela de derivadas elementares para calcular mt (obtenha a fórmula geral da derivada e então a valore no ponto de interesse).
Ache o volume do sólido limitado pelos planos
e
Ache o volume do sólido do primeiro octante, limitado pelos cilindros
.