Calcule a integral trocando a ordem de integração:
integral0^raizpi integraly^raizpi cos (x^2) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral trocando a ordem de integração. Primeiro, vamos resumir o que foi pedido:
Enunciado: Calcular a integral dupla .
Conteúdo: Aqui estamos trabalhando com cálculo de integrais duplas e mudança da ordem de integração.
O que vamos precisar: Entender como visualizar a região de integração e como trocar a ordem das integrais para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos variando de até , e para cada , varia de até . Isso significa que estamos olhando para a área acima da linha no intervalo de a para ambos e .

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites. Agora, vamos fixar primeiro e ver para quais valores varia. Observando a região, para um dado , vai de até . Além disso, ainda varia de a .

Passo 4

Com a nova ordem, a integral fica:
integral0^raizpi integral0^x cos (x^2) , dy , dx
Isso simplifica a parte interna da integral, já que não depende de .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^x cos (x^2) , dy = cos (x^2) cdot integral0^x dy = cos (x^2) cdot x :
integral0^raizpi x cos (x^2) , dx
Então, a integral dupla agora é:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral simples. Vamos usar uma substituição:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx
Substituindo na integral:
integral0^raizpi x cos (x^2) , dx = 12 integral0^pi cos(u) , du

Passo 7

Vamos calcular a integral de 12 integral0^pi cos(u) , du = 12 [ sin(u) ]0^pi = 12 ( sin(pi) - sin(0) ) :
12 (0 - 0) = 0
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral vale 0.

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