Ache o volume de um sólido obtido pela rotação do eixo
da região limitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada por
,
e
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos girando. As curvas
e
se interceptam em
, porque
. Além disso,
é o eixo
. Então, a área que vamos girar está entre
e
, e de
a
.
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo
, é mais fácil expressar
em função de
. A equação
pode ser rearranjada para
. Isso vai nos ajudar a definir o raio dos discos que formam o sólido.
Passo 4
Agora, aplicamos o método dos discos. A fórmula para o volume
é:
Aqui,
,
e
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Avaliando de
a
:
Sabendo que
, então
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região compreendida entre a parábola
e a reta
no primeiro quadrante.
Calcule a área da elipse descrita por
.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto