Ache o volume de um sólido obtido pela rotação do eixo da região limitada por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada por , e é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que estamos girando. As curvas e se interceptam em , porque . Além disso, é o eixo . Então, a área que vamos girar está entre e , e de a .

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo , é mais fácil expressar em função de . A equação pode ser rearranjada para . Isso vai nos ajudar a definir o raio dos discos que formam o sólido.

Passo 4

Agora, aplicamos o método dos discos. A fórmula para o volume é:
Aqui, , e . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Avaliando de a :
Sabendo que , então :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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