Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é a derivada de uma função
. Nosso objetivo provavelmente é encontrar a função original
. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é o processo inverso da derivação. Vamos precisar saber como integrar funções que envolvem exponenciais, funções trigonométricas e raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a expressão da derivada que nos foi dada:
Nosso objetivo é encontrar
integrando
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Podemos reescrever
como:
Isso porque
.
Passo 4
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Isso pode parecer complicado, mas vamos ver se conseguimos simplificar ou identificar uma substituição que facilite a integração.
Passo 5
Observando a expressão, percebemos que a presença de
juntamente com os termos
e
sugere que podemos usar uma substituição envolvendo o expoente.
Vamos definir:
Então, derivando
em relação a
:
Passo 6
Agora, reescrevemos a integral em termos de
. Observamos que:
Isso se relaciona com
. Reorganizando:
Portanto, nossa integral fica:
Passo 7
Separamos a integral em duas partes:
Simplificando:
Passo 8
Considerando a segunda integral, usamos a substituição
:
Essa é uma forma mais simples de integrar em termos de
.
Passo 9
Voltando à nossa primeira integral:
Para resolver isso, precisaríamos expressar
em termos de
, o que é complicado. Isso sugere que a presença do termo “1” na expressão original pode ser tratada separadamente.
Passo 10
Considerando a complexidade das integrais, podemos concluir que a expressão de
em termos de funções elementares pode não ser possível ou seria extremamente complicada. Portanto, a resposta final será em termos da integral definida.
Resposta
A função original
é dada por:
onde
é a constante de integração.
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e
.