Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é a derivada de uma função . Nosso objetivo provavelmente é encontrar a função original . Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é o processo inverso da derivação. Vamos precisar saber como integrar funções que envolvem exponenciais, funções trigonométricas e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão da derivada que nos foi dada:
Nosso objetivo é encontrar integrando .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para facilitar a integração. Podemos reescrever como:
Isso porque .

Passo 4

Agora, vamos integrar para encontrar :
Isso pode parecer complicado, mas vamos ver se conseguimos simplificar ou identificar uma substituição que facilite a integração.

Passo 5

Observando a expressão, percebemos que a presença de juntamente com os termos e sugere que podemos usar uma substituição envolvendo o expoente.
Vamos definir:
Então, derivando em relação a :

Passo 6

Agora, reescrevemos a integral em termos de . Observamos que:
Isso se relaciona com . Reorganizando:
Portanto, nossa integral fica:

Passo 7

Separamos a integral em duas partes:
Simplificando:

Passo 8

Considerando a segunda integral, usamos a substituição :
Essa é uma forma mais simples de integrar em termos de .

Passo 9

Voltando à nossa primeira integral:
Para resolver isso, precisaríamos expressar em termos de , o que é complicado. Isso sugere que a presença do termo “1” na expressão original pode ser tratada separadamente.

Passo 10

Considerando a complexidade das integrais, podemos concluir que a expressão de em termos de funções elementares pode não ser possível ou seria extremamente complicada. Portanto, a resposta final será em termos da integral definida.

Resposta

A função original é dada por:
onde é a constante de integração.

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