Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado quando a região
é girada em torno do eixo
. A região
é delimitada por
e
. Para fazer isso, vamos usar o método dos discos do cálculo integral, que é uma técnica para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar uma região em torno do eixo
. Imagine que você tem a região
no plano cartesiano e, ao girar essa região 360 graus em torno do eixo
, você cria um sólido. Para calcular o volume desse sólido, vamos integrar a área dos discos formados por cada fatia perpendicular ao eixo
.
Passo 3
O método dos discos nos diz que o volume
pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui,
é a função que representa o raio externo do disco e
é a função que representa o raio interno.
Passo 4
No nosso caso, a função superior é
e a função inferior é
. Como estamos girando em torno do eixo
, essas funções representam os raios dos discos. Então, temos:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume:
Vamos simplificar essa expressão antes de integrar.
Passo 6
Simplificando os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos agora calcular a integral:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui pois vamos avaliar entre os limites 1 e 2.
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
Passo 9
Substituindo de volta:
Convertendo para frações com denominadores iguais:
Passo 10
Fazendo a subtração:
Então:
Resposta
O volume do sólido formado pela rotação da região
em torno do eixo
é:
Exercícios relacionados
Ache o volume de um sólido obtido pela rotação do eixo
da região limitada por
e
.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região compreendida entre a parábola
e a reta
no primeiro quadrante.