Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado quando a região é girada em torno do eixo . A região é delimitada por e . Para fazer isso, vamos usar o método dos discos do cálculo integral, que é uma técnica para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar uma região em torno do eixo . Imagine que você tem a região no plano cartesiano e, ao girar essa região 360 graus em torno do eixo , você cria um sólido. Para calcular o volume desse sólido, vamos integrar a área dos discos formados por cada fatia perpendicular ao eixo .

Passo 3

O método dos discos nos diz que o volume pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui, é a função que representa o raio externo do disco e é a função que representa o raio interno.

Passo 4

No nosso caso, a função superior é e a função inferior é . Como estamos girando em torno do eixo , essas funções representam os raios dos discos. Então, temos:

Passo 5

Agora, substituímos e na fórmula do volume:
Vamos simplificar essa expressão antes de integrar.

Passo 6

Simplificando os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos agora calcular a integral:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui pois vamos avaliar entre os limites 1 e 2.

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:

Passo 9

Substituindo de volta:
Convertendo para frações com denominadores iguais:

Passo 10

Fazendo a subtração:
Então:

Resposta

O volume do sólido formado pela rotação da região em torno do eixo é:

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