Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região compreendida entre a parábola
e a reta
no primeiro quadrante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular o volume do sólido formado ao girar em torno do eixo
a região que está entre a parábola
e a reta
no primeiro quadrante. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de integração para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola e a reta se encontram. Isso vai nos dizer os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação
, colocamos todos os termos para um lado:
Fatorando:
Então,
ou
.
Passo 4
Isso significa que as duas curvas se encontram nos pontos
e
. Como estamos no primeiro quadrante, vamos considerar esses limites para nossa integração.
Passo 5
Agora, vamos usar o método dos discos. Quando giramos em torno do eixo
, cada “disco” tem um raio que depende de
. A largura de cada disco é
.
A fórmula para o volume usando discos é:
Onde:
-
é a função externa (mais distante do eixo de rotação) -
é a função interna (mais próxima do eixo de rotação)
Passo 6
No nosso caso, ao girar em torno do eixo
, a reta
está mais distante do eixo do que a parábola
no intervalo considerado. Então:
Passo 7
Substituindo na fórmula do volume:
Simplificando as potências:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 9
Vamos calcular para
:
Encontrando o denominador comum:
Para
, ambos os termos são zero.
Passo 10
Portanto, o volume é:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a área da elipse descrita por
.
Calcule
Ache o volume de um sólido obtido pela rotação do eixo
da região limitada por
e
.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto