Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , da região compreendida entre a parábola e a reta no primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular o volume do sólido formado ao girar em torno do eixo a região que está entre a parábola e a reta no primeiro quadrante. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de integração para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a parábola e a reta se encontram. Isso vai nos dizer os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação , colocamos todos os termos para um lado:
Fatorando:
Então, ou .

Passo 4

Isso significa que as duas curvas se encontram nos pontos e . Como estamos no primeiro quadrante, vamos considerar esses limites para nossa integração.

Passo 5

Agora, vamos usar o método dos discos. Quando giramos em torno do eixo , cada “disco” tem um raio que depende de . A largura de cada disco é .
A fórmula para o volume usando discos é:
Onde:
  • é a função externa (mais distante do eixo de rotação)
  • é a função interna (mais próxima do eixo de rotação)

Passo 6

No nosso caso, ao girar em torno do eixo , a reta está mais distante do eixo do que a parábola no intervalo considerado. Então:

Passo 7

Substituindo na fórmula do volume:
Simplificando as potências:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Então:

Passo 9

Vamos calcular para :
Encontrando o denominador comum:
Para , ambos os termos são zero.

Passo 10

Portanto, o volume é:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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