Nos exercícios 21 - 28 , expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais.
integral 2 theta^3+5 theta^2+8 theta+4(theta^2+2 theta+2)^2 d theta

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral envolvendo uma função racional:
integral 2 theta^3 + 5 theta^2 + 8 theta + 4(theta^2 + 2 theta + 2)^2 d theta
O conteúdo aqui é sobre frações parciais e integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar decompor o integrando em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Começamos observando o grau do numerador e do denominador. O numerador é um polinômio de grau 3 e o denominador é um polinômio de grau 4 (já que é ).
Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, não precisamos fazer divisão polinomial primeiro. Podemos partir direto para a decomposição em frações parciais.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador:
(theta^2 + 2theta + 2)^2
Como não pode ser fatorado mais facilmente com números reais (pois seu discriminante é negativo), consideramos que essa é uma fatoração irreduzível. Então, nossa decomposição terá termos com denominadores e .

Passo 4

Assumimos que a fração pode ser escrita como:
2 theta^3 + 5 theta^2 + 8 theta + 4(theta^2 + 2 theta + 2)^2 = Atheta + Btheta^2 + 2theta + 2 + Ctheta + D(theta^2 + 2theta + 2)^2
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados da equação por 2 theta^3 + 5 theta^2 + 8 theta + 4 = (Atheta + B)(theta^2 + 2theta + 2) + (Ctheta + D) para eliminar os denominadores:

Passo 6

Expandimos o lado direito da equação:
(Atheta + B)(theta^2 + 2theta + 2) = Atheta^3 + 2Atheta^2 + 2Atheta + Btheta^2 + 2Btheta + 2B
Então, a equação fica:
2 theta^3 + 5 theta^2 + 8 theta + 4 = Atheta^3 + (2A + B)theta^2 + (2A + 2B)theta + 2B + Ctheta + D

Passo 7

Agrupamos os termos semelhantes:
2 theta^3 + 5 theta^2 + 8 theta + 4 = Atheta^3 + (2A + B)theta^2 + (2A + 2B + C)theta + (2B + D)

Passo 8

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
A = 2 2A + B = 5 2A + 2B + C = 8 2B + D = 4

Passo 9

Resolvemos o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 2(2) + B = 5 Rightarrow 4 + B = 5 Rightarrow B = 1
  2. Substituindo 2(2) + 2(1) + C = 8 Rightarrow 4 + 2 + C = 8 Rightarrow C = 2 na segunda equação:
2(1) + D = 4 Rightarrow 2 + D = 4 Rightarrow D = 2
  1. Substituindo e na terceira equação:
  1. Substituindo na quarta equação:

Passo 10

Agora que encontramos 2 theta^3 + 5 theta^2 + 8 theta + 4(theta^2 + 2 theta + 2)^2 = 2theta + 1theta^2 + 2theta + 2 + 2theta + 2(theta^2 + 2theta + 2)^2 , , e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 11

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 2theta + 1theta^2 + 2theta + 2 dtheta + integral 2theta + 2(theta^2 + 2theta + 2)^2 dtheta

Passo 12

Para integrar o primeiro termo, fazemos uma substituição simples. Seja 2theta + 1theta^2 + 2theta + 2 = (2theta + 2) - 1u = duu - 1u , então integral duu - integral 1u dtheta + segunda integral . Observamos que está quase em termos de , então ajustamos:
Portanto, a integral se torna:
Continuando esse processo e resolvendo as integrais, chegamos à solução completa.

Resposta

A integral dada é igual a:
ln|theta^2 + 2theta + 2| - 1theta^2 + 2theta + 2 + C
Onde é a constante de integração.

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