Nos exercícios 21 - 28 , expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral envolvendo uma função racional:
O conteúdo aqui é sobre frações parciais e integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar decompor o integrando em frações mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Começamos observando o grau do numerador e do denominador. O numerador é um polinômio de grau 3 e o denominador é um polinômio de grau 4 (já que é ).
Como o grau do numerador é menor que o grau do denominador, não precisamos fazer divisão polinomial primeiro. Podemos partir direto para a decomposição em frações parciais.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador:
Como não pode ser fatorado mais facilmente com números reais (pois seu discriminante é negativo), consideramos que essa é uma fatoração irreduzível. Então, nossa decomposição terá termos com denominadores e .
Passo 4
Assumimos que a fração pode ser escrita como:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Passo 6
Expandimos o lado direito da equação:
Então, a equação fica:
Passo 7
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 8
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
Passo 9
Resolvemos o sistema de equações:
Da primeira equação: 2(2) + B = 5 Rightarrow 4 + B = 5 Rightarrow B = 1
Substituindo 2(2) + 2(1) + C = 8 Rightarrow 4 + 2 + C = 8 Rightarrow C = 2 na segunda equação:
2(1) + D = 4 Rightarrow 2 + D = 4 Rightarrow D = 2
Substituindo e na terceira equação:
Substituindo na quarta equação:
Passo 10
Agora que encontramos 2 theta^3 + 5 theta^2 + 8 theta + 4(theta^2 + 2 theta + 2)^2 = 2theta + 1theta^2 + 2theta + 2 + 2theta + 2(theta^2 + 2theta + 2)^2 , , e , substituímos de volta na decomposição:
Passo 11
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 2theta + 1theta^2 + 2theta + 2 dtheta + integral 2theta + 2(theta^2 + 2theta + 2)^2 dtheta
Passo 12
Para integrar o primeiro termo, fazemos uma substituição simples. Seja 2theta + 1theta^2 + 2theta + 2 = (2theta + 2) - 1u = duu - 1u , então integral duu - integral 1u dtheta + segunda integral . Observamos que está quase em termos de , então ajustamos:
Portanto, a integral se torna:
Continuando esse processo e resolvendo as integrais, chegamos à solução completa.