Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelos cilindros x^2 + y^2 = 4 e x^2 + z^2 = 4. Faça um esboço do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante, ou seja, onde todas as coordenadas , e são positivas. Esse sólido é limitado por dois cilindros: e . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, e entender um pouco sobre a forma desses cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são esses cilindros. A equação representa um cilindro circular reto com raio 2, orientado ao longo do eixo . Já é outro cilindro circular reto com o mesmo raio, mas orientado ao longo do eixo . No primeiro octante, esses dois cilindros se intersectam, e queremos encontrar o volume dessa região limitada por eles.

Passo 3

Para encontrar o volume, vamos usar uma integral tripla. Mas como estamos no primeiro octante e os cilindros estão orientados ao longo dos eixos, podemos simplificar usando coordenadas cilíndricas. Vamos fixar e determinar os limites para e .
Vamos expressar em função de a partir de :
E similarmente para a partir de :
Como estamos no primeiro octante, e vão de 0 até .

Passo 4

Agora, configuramos a integral para o volume :
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a :
Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido no primeiro octante limitado pelos cilindros é unidades cúbicas.

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