Ache o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelos cilindros
e
. Faça um esboço do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o volume de um sólido que está no primeiro octante, ou seja, onde todas as coordenadas
,
e
são positivas. Esse sólido é limitado por dois cilindros:
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, e entender um pouco sobre a forma desses cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são esses cilindros. A equação
representa um cilindro circular reto com raio 2, orientado ao longo do eixo
. Já
é outro cilindro circular reto com o mesmo raio, mas orientado ao longo do eixo
. No primeiro octante, esses dois cilindros se intersectam, e queremos encontrar o volume dessa região limitada por eles.
Passo 3
Para encontrar o volume, vamos usar uma integral tripla. Mas como estamos no primeiro octante e os cilindros estão orientados ao longo dos eixos, podemos simplificar usando coordenadas cilíndricas. Vamos fixar
e determinar os limites para
e
.
Vamos expressar
em função de
a partir de
:
E similarmente para
a partir de
:
Como estamos no primeiro octante,
e
vão de 0 até
.
Passo 4
Agora, configuramos a integral para o volume
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a
:
Por fim, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido no primeiro octante limitado pelos cilindros é
unidades cúbicas.