Calcule a integral tripla.
(b) integral triplaB(x^2+z^2) d V, onde B=(x, y, z) mid x^2+y^2 <= 1,0 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla: , onde a região é definida por e . Isso significa que é um cilindro com raio 1 e altura 1. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante nesse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Em vez de usar x = r costheta, y = r sintheta, z = z , dV = r , dr , dtheta , dz , e , usamos , e , onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano ,
  • é o ângulo em relação ao eixo ,
  • permanece o mesmo.
A transformação fica assim:
E o volume elementar em coordenadas cilíndricas é dado por:

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar, x^2 + z^2 = (r costheta)^2 + z^2 = r^2 cos^2theta + z^2 , nas coordenadas cilíndricas:
integral triplaB (r^2 cos^2theta + z^2) r , dr , dtheta , dz
Então, nossa integral tripla fica:

Passo 4

Vamos estabelecer os limites de integração. Como integral0^2pi integral0^1 integral0^1 (r^2 cos^2theta + z^2) r , dz , dr , dtheta é um cilindro com raio 1 e altura 1:
  • varia de 0 a 1,
  • varia de 0 a (uma volta completa),
  • varia de 0 a 1.
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral em integral0^1 (r^3 cos^2theta + r z^2) dz = r^3 cos^2theta integral0^1 dz + r integral0^1 z^2 dz primeiro:
r^3 cos^2theta [z]0^1 + r [z^33]0^1 = r^3 cos^2theta (1) + r (13) = r^3 cos^2theta + r3
Calculando as integrais:

Passo 6

Agora, vamos integrar em integral0^1 (r^3 cos^2theta + r3) dr = cos^2theta integral0^1 r^3 dr + 13 integral0^1 r , dr :
cos^2theta [r^44]0^1 + 13 [r^22]0^1 = cos^2theta (14) + 13 (12) = cos^2theta4 + 16
Calculando as integrais:

Passo 7

Por fim, vamos integrar em integral0^2pi (cos^2theta4 + 16) dtheta = 14 integral0^2pi cos^2theta , dtheta + 16 integral0^2pi dtheta :
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
Sabemos que:
integral0^2pi dtheta = 2pi
e
14 cdot pi + 16 cdot 2pi = pi4 + pi3 = 3pi12 + 4pi12 = 7pi12
Então:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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