Calcule a integral tripla.
(b)
, onde
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla:
, onde a região
é definida por
e
. Isso significa que
é um cilindro com raio 1 e altura 1. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante nesse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Em vez de usar
,
, e
, usamos
,
e
, onde:
-
é a distância do ponto à origem no plano , -
é o ângulo em relação ao eixo , -
permanece o mesmo.
A transformação fica assim:
E o volume elementar
em coordenadas cilíndricas é dado por:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que vamos integrar,
, nas coordenadas cilíndricas:
Então, nossa integral tripla fica:
Passo 4
Vamos estabelecer os limites de integração. Como
é um cilindro com raio 1 e altura 1:
-
varia de 0 a 1, -
varia de 0 a (uma volta completa), -
varia de 0 a 1.
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Calculando as integrais:
Passo 6
Agora, vamos integrar em
:
Calculando as integrais:
Passo 7
Por fim, vamos integrar em
:
Sabemos que:
e
Então:
Resposta
O valor da integral tripla é
.