Nos exercícios a seguir, verifique que
:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar que as segundas derivadas parciais cruzadas de
são iguais, ou seja,
. Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver, vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
. Para isso, trataremos
como uma constante.
A função é
. Usaremos a regra do quociente para derivar:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Trataremos
como constante.
Temos:
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando o numerador:
Fatorando
:
Explicando melhor, a derivada final fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, que é
.
A função é
. Derivando em relação a
:
Passo 5
Em seguida, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Trataremos
como constante.
Temos:
Usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Fatorando
:
Simplificando:
Resposta
Concluímos que
. Portanto, as segundas derivadas parciais cruzadas são iguais.