Nos exercícios a seguir, verifique que wxy = wyx :
a) w = x^2 / (x + y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar que as segundas derivadas parciais cruzadas de são iguais, ou seja, . Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais em cálculo multivariável. Para resolver, vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , que é . Para isso, trataremos como uma constante.
A função é . Usaremos a regra do quociente para derivar:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar . Trataremos como constante.
Temos:
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando o numerador:
Fatorando :
Explicando melhor, a derivada final fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , que é .
A função é . Derivando em relação a :

Passo 5

Em seguida, vamos derivar em relação a para encontrar . Trataremos como constante.
Temos:
Usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Fatorando :
Simplificando:

Resposta

Concluímos que . Portanto, as segundas derivadas parciais cruzadas são iguais.

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