Inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos resolver a integral dupla . Esse exercício envolve troca da ordem de integração, que faz parte do estudo de cálculo integral, mais especificamente, integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região de integração e aplicar a troca de variáveis de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos
variando de
a
e, para cada
,
varia de
a
. Isso significa que a região está delimitada pelas curvas
e
, com
indo de
a
.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar
em termos de
. A curva
pode ser reescrita como
. Observando os limites,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
a
.
Passo 4
Com a ordem invertida, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, a integral se simplifica para:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Quando
,
. Quando
,
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Integrando :
Passo 10
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral dupla avaliada é igual a
.