Inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
(a) integral0^4 integralraizx^2 sen(pi y^3) d y d x

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla . Esse exercício envolve troca da ordem de integração, que faz parte do estudo de cálculo integral, mais especificamente, integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região de integração e aplicar a troca de variáveis de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos x variando de 0 a 4 e, para cada x, y varia de raizx a 2. Isso significa que a região está delimitada pelas curvas y = raizx e y = 2, com x indo de 0 a 4.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos expressar x em termos de y. A curva y = raizx pode ser reescrita como x = y^2. Observando os limites, y varia de 0 a 2, e para cada y, x varia de 0 a y^2.

Passo 4

Com a ordem invertida, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a x:

Passo 6

Agora, a integral se simplifica para:

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
u = pi y^3 du = 3pi y^2 dy du3pi = y^2 dy
Quando y = 0, u = 0. Quando y = 2, u = pi (2)^3 = 8pi.

Passo 8

Substituindo na integral:

Passo 9

Integrando :
sen(u)

Passo 10

Sabemos que cos(8pi) = 1 e cos(0) = 1, então:
13pi ( -1 + 1 ) = 13pi cdot 0 = 0

Resposta

A integral dupla avaliada é igual a 0.

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