Calcule a integral iterada.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo! O enunciado pede para calcular a integral iterada:
Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas. Vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais de funções racionais e a função arco-tangente para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, aquela que está em relação a
:
Nesse caso,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Observamos que a integral tem a forma:
Sabemos que a antiderivada dessa expressão é:
Onde
é a constante de integração. No nosso caso,
, então a antiderivada fica:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Sabemos que
, então simplificamos para:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 6
Calculamos a primeira integral:
Sabemos que:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Passo 7
Calculamos a segunda integral:
Passo 8
Juntando tudo, temos:
Simplificando os termos semelhantes:
Podemos escrever os logaritmos como:
Resposta
A integral iterada vale: