Calcule a integral iterada.
© integral1^2 integraly^y^2 yy^2+x^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo! O enunciado pede para calcular a integral iterada:
integral1^2 integraly^y^2 yy^2+x^2 , dx , dy
Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas. Vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais de funções racionais e a função arco-tangente para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, aquela que está em relação a integraly^y^2 yy^2+x^2 , dx :
Nesse caso, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Observamos que a integral tem a forma:
integral aa^2 + x^2 , dx
Sabemos que a antiderivada dessa expressão é:
arctan(xa) + C
Onde arctan(xy) + C é a constante de integração. No nosso caso, , então a antiderivada fica:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de [ arctan(y^2y) ] - [ arctan(yy) ] = arctan(y) - arctan(1) a arctan(y) - pi4 :
Sabemos que , então simplificamos para:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
integral1^2 ( arctan(y) - pi4 ) , dy
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
integral1^2 arctan(y) , dy - integral1^2 pi4 , dy

Passo 6

Calculamos a primeira integral:
integral arctan(y) , dy
Sabemos que:
integral arctan(y) , dy = y arctan(y) - 12 ln(y^2 + 1) + C
Aplicando os limites de 1 a 2:
[ 2 arctan(2) - 12 ln(5) ] - [ 1 cdot pi4 - 12 ln(2) ]

Passo 7

Calculamos a segunda integral:
integral1^2 pi4 , dy = pi4 (2 - 1) = pi4

Passo 8

Juntando tudo, temos:
2 arctan(2) - 12 ln(5) - pi4 + 12 ln(2) - pi4
Simplificando os termos semelhantes:
2 arctan(2) - 12 ln(5) + 12 ln(2) - pi2
Podemos escrever os logaritmos como:
12 ln(25)

Resposta

A integral iterada vale:
2,arctan(2) + 12ln(25) - pi2

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