Ache o volume do tetraedro cujos vértices são os pontos A=(1,-2,0), B=(1,3,-1), C=(0,1,0) e D=(0,3,-3).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o volume de um tetraedro, que é um poliedro com quatro faces triangulares. Os vértices desse tetraedro estão nos pontos A=(1,-2,0), B=(1,3,-1), C=(0,1,0) e D=(0,3,-3). Para resolver isso, vamos precisar usar a geometria analítica, especificamente a fórmula para o volume de um tetraedro dado por coordenadas no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos começar calculando os vetores que partem de um dos vértices para os outros três. Vou escolher o ponto A como referência. Então, calculamos os vetores AB, AC e AD.
AB = B - A = (1-1, 3-(-2), -1-0) = (0, 5, -1)
AC = C - A = (0-1, 1-(-2), 0-0) = (-1, 3, 0)
AD = D - A = (0-1, 3-(-2), -3-0) = (-1, 5, -3)

Passo 3

Agora, precisamos calcular o produto vetorial entre os vetores AC e AD. O produto vetorial entre dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
u times v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1)
Aplicando isso aos nossos vetores:
AC times AD = (3*(-3) - 0*5, 0*(-1) - (-1)*(-3), (-1)*5 - 3*(-1)) = (-9 - 0, 0 - 3, -5 + 3) = (-9, -3, -2)

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o produto escalar entre o vetor AB e o resultado do produto vetorial que acabamos de encontrar. O produto escalar entre dois vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Aplicando isso:
AB cdot (AC times AD) = (0)*(-9) + (5)*(-3) + (-1)*(-2) = 0 - 15 + 2 = -13

Passo 5

O volume do tetraedro é dado pela fórmula:
V = |AB cdot (AC times AD)|6
Substituindo o valor que encontramos:
V = |-13|6 = 136

Resposta

O volume do tetraedro é 136 unidades cúbicas.

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