Sejam A=(1,2,3) e B=(-4,5,0). Determine os pontos pertencentes ao segmento de reta AB que o dividem em três partes com mesma medida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois pontos no espaço, A = (1, 2, 3) e B = (-4, 5, 0). A gente precisa encontrar os pontos no segmento de reta que liga A e B que dividem esse segmento em três partes iguais. Pra isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula do ponto que divide um segmento em certa razão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para achar um ponto que divide o segmento AB na razão m:n, usamos a fórmula das coordenadas internas. A fórmula diz que as coordenadas do ponto P são:
P = ( m cdot xB + n cdot xAm + n, m cdot yB + n cdot yAm + n, m cdot zB + n cdot zAm + n )

Passo 3

Como queremos dividir o segmento em três partes iguais, precisamos de dois pontos que dividem AB em três segmentos de mesmo comprimento. Isso significa que o primeiro ponto divide a reta na razão 1:2 e o segundo ponto na razão 2:1.

Passo 4

Vamos calcular o primeiro ponto, que divide o segmento na razão 1:2. Aplicando a fórmula:
P1 = ( 1 cdot (-4) + 2 cdot 11 + 2, 1 cdot 5 + 2 cdot 21 + 2, 1 cdot 0 + 2 cdot 31 + 2 )
Calculando cada coordenada:
  • Coordenada x:
    -4 + 23 = -23 = -23
  • Coordenada y:
    5 + 43 = 93 = 3
  • Coordenada z:
    0 + 63 = 63 = 2
Então, P1 = ( -23, 3, 2 ).

Passo 5

Agora, vamos calcular o segundo ponto, que divide o segmento na razão 2:1. Novamente, aplicando a fórmula:
P2 = ( 2 cdot (-4) + 1 cdot 12 + 1, 2 cdot 5 + 1 cdot 22 + 1, 2 cdot 0 + 1 cdot 32 + 1 )
Calculando cada coordenada:
  • Coordenada x:
    -8 + 13 = -73 = -73
  • Coordenada y:
    10 + 23 = 123 = 4
  • Coordenada z:
    0 + 33 = 33 = 1
Então, P2 = ( -73, 4, 1 ).

Resposta

Os pontos que dividem o segmento AB em três partes iguais são:
P1 = ( -23, 3, 2 ) e P2 = ( -73, 4, 1 )

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