Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
b) f: R^2 R tal que f(x, y)=x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar se a função definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se essa função atende aos requisitos.

Passo 2

Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação é linear se ela respeita duas propriedades fundamentais:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Essas propriedades garantem que a transformação mantém a estrutura linear dos vetores.

Passo 3

Vamos aplicar essas propriedades à função f(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2)(y1 + y2) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 .
Verificando a Aditividade:
Vamos considerar dois vetores f(x1, y1) + f(x2, y2) = x1y1 + x2y2 e f(u + v) neq f(u) + f(v) .
Calculamos f(cx, cy) = (cx)(cy) = c^2xy :
c f(x, y) = c(xy)
Agora, calculamos f(cu) = c^2xy neq c(xy) = c f(u) :
Observamos que:
Porque há termos extras .
Verificando a Homogeneidade:
Vamos considerar um escalar e um vetor .
Calculamos :
Agora, calculamos :
Aqui, temos:
A menos que ou , o que não é geral.

Resposta

Então, a função não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias.

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