Determine quais das seguintes funções são transformações lineares.
b)
tal que
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinar se a função
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e verificar se essa função atende aos requisitos.
Passo 2
Primeiro, o que é uma transformação linear? Basicamente, uma transformação
é linear se ela respeita duas propriedades fundamentais:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Essas propriedades garantem que a transformação mantém a estrutura linear dos vetores.
Passo 3
Vamos aplicar essas propriedades à função
.
Verificando a Aditividade:
Vamos considerar dois vetores
e
.
Calculamos
:
Agora, calculamos
:
Observamos que:
Porque há termos extras
.
Verificando a Homogeneidade:
Vamos considerar um escalar
e um vetor
.
Calculamos
:
Agora, calculamos
:
Aqui, temos:
A menos que
ou
, o que não é geral.
Resposta
Então, a função
não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias.