Ache o Wronskiano de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar o Wronskiano do conjunto de funções . O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a verificar se um conjunto de funções é linearmente independente. Para isso, vamos precisar conhecer derivadas e saber montar determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o Wronskiano para três funções. O Wronskiano é dado pelo determinante da seguinte matriz:
Então, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de cada função do nosso conjunto.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
  1. Para :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:
  2. Para :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:
  3. Para :
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano com essas funções e suas derivadas:

Passo 5

Vamos calcular o determinante dessa matriz. Para facilitar, expandiremos pelo método de Sarrus ou regra de Sarrus para determinantes 3x3. Vamos multiplicar os elementos da diagonal principal e subtrair os produtos das diagonais secundárias.
Após o cálculo, obtemos o valor do Wronskiano.

Resposta

Após os cálculos, o Wronskiano das funções dadas é:
Portanto, o Wronskiano é igual a 4.

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