Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Oi! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado pede para determinar a solução geral da equação:
Esse é um problema de equações diferenciais lineares de terceira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e de uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Perceba que essa é uma equação cúbica que pode ser fatorada. Observando os coeficientes, notamos que
é uma raiz, pois substituindo:
Então, podemos fatorar
:
Passo 4
Continuando a fatoração:
Portanto, a raiz
tem multiplicidade 3.
Passo 5
Com a raiz
de multiplicidade 3, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
,
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Dividimos em duas partes: encontrar uma solução para
e outra para
. Como
já está presente na solução homogênea com multiplicidade 3, precisamos multiplicar por
para encontrar a solução particular. Para o termo constante
, consideramos uma solução constante.
Passo 7
Primeiro, para
:
Assumimos uma solução da forma:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 8
Em seguida, para o termo constante
:
Assumimos uma solução constante:
Onde
é outra constante a ser determinada.
Passo 9
Vamos substituir
na equação diferencial:
Então, a solução particular para o termo constante é:
Passo 10
Agora, somamos as soluções homogênea e particulares para obter a solução geral:
Onde
,
,
e
são constantes que podem ser determinadas se houver condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
,
,
e
são constantes arbitrárias.
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