Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.

Passo 1

Oi! Vamos resolver essa equação diferencial juntos. O enunciado pede para determinar a solução geral da equação:
Esse é um problema de equações diferenciais lineares de terceira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (quando o lado direito é zero) e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por :

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
Perceba que essa é uma equação cúbica que pode ser fatorada. Observando os coeficientes, notamos que é uma raiz, pois substituindo:
Então, podemos fatorar :

Passo 4

Continuando a fatoração:
Portanto, a raiz tem multiplicidade 3.

Passo 5

Com a raiz de multiplicidade 3, a solução geral da equação homogênea é:
Onde , e são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Dividimos em duas partes: encontrar uma solução para e outra para . Como já está presente na solução homogênea com multiplicidade 3, precisamos multiplicar por para encontrar a solução particular. Para o termo constante , consideramos uma solução constante.

Passo 7

Primeiro, para :
Assumimos uma solução da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 8

Em seguida, para o termo constante :
Assumimos uma solução constante:
Onde é outra constante a ser determinada.

Passo 9

Vamos substituir na equação diferencial:
Então, a solução particular para o termo constante é:

Passo 10

Agora, somamos as soluções homogênea e particulares para obter a solução geral:
Onde , , e são constantes que podem ser determinadas se houver condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde , , e são constantes arbitrárias.

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