Determine se cada conjunto de funções é ou não linearmente dependente em

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos determinar se o conjunto de funções é linearmente dependente ou independente no intervalo . Para isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e dependência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente dependente. Um conjunto de funções é linearmente dependente se existir uma combinação linear delas que resulte na função zero, sem que todas as constantes multiplicadoras sejam zero. Em termos matemáticos, queremos encontrar constantes e , não ambas zero, tais que:

Passo 3

Vamos expandir a equação:
Simplificando, temos:

Passo 4

Para que essa equação seja igual a zero para todos os valores de , os coeficientes das potências de devem ser iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda:
  3. Então,

Passo 6

Encontramos que a única solução para o sistema é e . Isso significa que a única combinação linear que resulta na função zero é a trivial, onde todas as constantes são zero.

Resposta

As funções são linearmente independentes em .

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