Determine se cada conjunto de funções é ou não linearmente dependente em
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos determinar se o conjunto de funções
é linearmente dependente ou independente no intervalo
. Para isso, vamos usar os conceitos de combinação linear e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente dependente. Um conjunto de funções é linearmente dependente se existir uma combinação linear delas que resulte na função zero, sem que todas as constantes multiplicadoras sejam zero. Em termos matemáticos, queremos encontrar constantes
e
, não ambas zero, tais que:
Passo 3
Vamos expandir a equação:
Simplificando, temos:
Passo 4
Para que essa equação seja igual a zero para todos os valores de
, os coeficientes das potências de
devem ser iguais a zero. Assim, temos o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda:
- Então,
Passo 6
Encontramos que a única solução para o sistema é
e
. Isso significa que a única combinação linear que resulta na função zero é a trivial, onde todas as constantes são zero.
Resposta
As funções
são linearmente independentes em
.
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