Use o método da variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguines equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
Vamos usar o método da variação dos parâmetros para encontrar a solução geral dessa equação. Isso vai envolver encontrar a solução da equação homogênea associada e depois achar uma solução particular que se encaixe na equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por :
Resolvendo para :
Como temos raízes complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular usando o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea:
O próximo passo é calcular o Wronskiano dessas soluções:

[ W =


= ( \cos 2x \cdot 2\cos 2x ) - ( \sin 2x \cdot (-2\sin 2x) )
= 2\cos^2 2x + 2\sin^2 2x
= 2(\cos^2 2x + \sin^2 2x)
= 2(1)
= 2
]
Então, .

Passo 4

Com o Wronskiano calculado, usamos as fórmulas da variação dos parâmetros para encontrar e :
Onde RHS é o lado direito da equação original, ou seja, .

Passo 5

Agora, vamos integrar e para encontrar e :
Para :
Usando a identidade trigonométrica :
Portanto:
Para :
Usando substituição, seja , então , ou :
Portanto:

Passo 6

Com e encontrados, a solução particular fica:
Simplificando usando identidades trigonométricas, se necessário.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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