Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente das equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, vamos encontrar a equação característica. A gente substitui por , por , e por 1, ficando:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Como a equação característica tem uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que determinamos com condições iniciais, mas como não temos, deixamos dessa forma.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea . Como o lado direito é um polinômio de grau 2, vamos assumir uma solução particular na forma de polinômio:
Onde , e são constantes que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que as equações sejam iguais para todo , os coeficientes correspondentes devem ser iguais:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
    Substituindo :
  3. Termo constante:
    Substituindo e :

Passo 9

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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