Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a equação
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente das equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, vamos encontrar a equação característica. A gente substitui
por
,
por
, e
por 1, ficando:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 4
Como a equação característica tem uma raiz dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com condições iniciais, mas como não temos, deixamos dessa forma.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea
. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, vamos assumir uma solução particular na forma de polinômio:
Onde
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que as equações sejam iguais para todo
, os coeficientes correspondentes devem ser iguais:
-
Coeficiente de
: -
Coeficiente de
: Substituindo: -
Termo constante:Substituindo
e :
Passo 9
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos escrever a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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