Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
dx/dt = x + y; dy/dt = x + 3y

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos. O enunciado pede para encontrarmos a solução geral do sistema e, depois, analisar o ponto de equilíbrio em . Vamos usar conceitos de sistemas lineares e matrizes para resolver. Precisaremos conhecer como resolver sistemas lineares utilizando autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. Temos:
Podemos representar isso como:
onde e .

Passo 3

Para encontrar a solução geral, precisamos calcular os autovalores da matriz A. Os autovalores lambda são encontrados resolvendo o determinante:
Então:
Simplificando:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Com os autovalores, encontramos os autovetores correspondentes. Para , resolvemos :
Simplificando:
Resolvendo, podemos escolher , então:
Racionalizando:
Então, o autovetor correspondente a é .

Passo 6

De forma similar, para , resolvemos :
Simplificando:
Escolhendo novamente:
Racionalizando:
Então, o autovetor correspondente a é .

Passo 7

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores que encontramos:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 8

Agora, vamos analisar o ponto de equilíbrio em (0,0). Observamos os autovalores e . Ambos são positivos, já que , então:
Como ambos os autovalores são positivos, o ponto de equilíbrio é um nó estável, e as soluções tendem ao infinito quando t -> infinito.

Resposta

A solução geral do sistema é:
O ponto de equilíbrio em (0,0) é um nó instável, já que ambos os autovalores são positivos. Portanto, quando t -> infinito, as soluções tendem ao infinito.

Exercícios relacionados

Aclu a solucao de coda um dos problemas de valor inicial abaixo
(a) y'' - 3y' + 2y = 0
y(0)=1, y'(0)=0
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
{ dx/dt = -x + 2y, dy/dt = x }
(n) a / b^(-1) + (a / b)^(-1)
(f) 4^(2^(8^x)) = 256