Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos. O enunciado pede para encontrarmos a solução geral do sistema e, depois, analisar o ponto de equilíbrio em
. Vamos usar conceitos de sistemas lineares e matrizes para resolver. Precisaremos conhecer como resolver sistemas lineares utilizando autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. Temos:
Podemos representar isso como:
onde
e
.
Passo 3
Para encontrar a solução geral, precisamos calcular os autovalores da matriz
. Os autovalores
são encontrados resolvendo o determinante:
Então:
Simplificando:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Com os autovalores, encontramos os autovetores correspondentes. Para
, resolvemos
:
Simplificando:
Resolvendo, podemos escolher
, então:
Racionalizando:
Então, o autovetor correspondente a
é
.
Passo 6
De forma similar, para
, resolvemos
:
Simplificando:
Escolhendo
novamente:
Racionalizando:
Então, o autovetor correspondente a
é
.
Passo 7
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores que encontramos:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 8
Agora, vamos analisar o ponto de equilíbrio em
. Observamos os autovalores
e
. Ambos são positivos, já que
, então:
Como ambos os autovalores são positivos, o ponto de equilíbrio é um nó estável, e as soluções tendem ao infinito quando
.
Resposta
A solução geral do sistema é:
O ponto de equilíbrio em
é um nó instável, já que ambos os autovalores são positivos. Portanto, quando
, as soluções tendem ao infinito.
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Aclu a solucao de coda um dos problemas de valor inicial abaixo
(a)
(a)
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.
(n)
(f)