Suponha que dois reboques puxam um outro barco com cordas cujas tensões são de 2 times 10^5 lb, 1.5 times 10^5 lb e essas forças fazem ângulos de 10 e 20 graus com o eixo do barco. Considere o atrito zero. Qual a força resultante?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos dois reboques puxando um barco com cordas que exercem tensões de 2 times 10^5 , lb e 1.5 times 10^5 , lb. Essas forças fazem ângulos de 10 e 20 graus com o eixo do barco. Nosso objetivo é encontrar a força resultante dessas duas tensões, considerando que não há atrito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e decomposição de forças em componentes horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada força pode ser dividida em duas partes: uma na direção horizontal (eixo do barco) e outra na direção vertical (perpendicular ao eixo do barco). Isso facilita a soma das forças.

Passo 3

Vamos chamar a primeira força de F1 = 2 times 10^5 , lb com um ângulo de 10^circ e a segunda força de F2 = 1.5 times 10^5 , lb com um ângulo de 20^circ.

Passo 4

Para a força F1, as componentes são:
F1x = F1 cos(10^circ) = 2 times 10^5 cos(10^circ)
F1y = F1 sin(10^circ) = 2 times 10^5 sin(10^circ)

Passo 5

Para a força F2, as componentes são:
F2x = F2 cos(20^circ) = 1.5 times 10^5 cos(20^circ)
F2y = F2 sin(20^circ) = 1.5 times 10^5 sin(20^circ)

Passo 6

Agora, somamos as componentes horizontais e verticais separadamente:
Frx = F1x + F2x = 2 times 10^5 cos(10^circ) + 1.5 times 10^5 cos(20^circ)
Fry = F1y + F2y = 2 times 10^5 sin(10^circ) + 1.5 times 10^5 sin(20^circ)

Passo 7

Vamos calcular os valores numéricos utilizando as aproximações:
cos(10^circ) approx 0.9848, sin(10^circ) approx 0.1736
cos(20^circ) approx 0.9397, sin(20^circ) approx 0.3420

Passo 8

Substituindo os valores:
Frx = 2 times 10^5 times 0.9848 + 1.5 times 10^5 times 0.9397
Frx = 196,960 + 140,955 = 337,915 , lb
Fry = 2 times 10^5 times 0.1736 + 1.5 times 10^5 times 0.3420
Fry = 34,720 + 51,300 = 86,020 , lb

Passo 9

Agora, para encontrar a força resultante Fr, usamos o Teorema de Pitágoras:
Fr = raizFrx^2 + Fry^2 = raiz(337,915)^2 + (86,020)^2

Passo 10

Calculando:
Fr = raiz114,124,306,225 + 7,395,443,200 = raiz121,519,749,425 approx 348,580 , lb

Passo 11

Para determinar o ângulo theta da força resultante em relação ao eixo do barco:
theta = tan^-1(FryFrx) = tan^-1(86,020337,915) approx tan^-1(0.2544) approx 14.2^circ

Resposta

A força resultante é aproximadamente 3.49 times 10^5 , lb formando um ângulo de 14.2^circ com o eixo do barco.

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