De acordo com a lei dos gases ideais para um gás confinado, se
newtons por metros quadrados for a pressão,
metros cúbicos for o volume e
graus for a temperatura, teremos a fórmula
onde
é uma constante de proporcionalidade. Suponha que o volume de um gás em certo recipiente seja
e que a temperatura seja
e
.
Ache a taxa de variação de
por unidade de variacsão de
se
permanece fixo em
.
Ache a taxa de variação de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão (
), volume (
) e temperatura (
) de um gás através da fórmula
, onde
é uma constante. Precisamos descobrir como a pressão (
) muda quando a temperatura (
) varia, mantendo o volume (
) fixo em
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, como o volume (
) está fixo em
, podemos reescrever a fórmula da lei dos gases ideais isolando
:
Substituindo os valores conhecidos (
e
):
Passo 3
Agora, queremos encontrar a taxa de variação de
em relação a
, ou seja, a derivada de
em relação a
, representada como
. Vamos derivar a função que encontramos:
Isso significa que, para cada grau que a temperatura aumenta, a pressão aumenta
newtons por metro quadrado.
Resposta
A taxa de variação de
por unidade de variação de
é
.
Exercícios relacionados
A temperatura em um ponto
é dada por
, onde
é medido em
e
em metros. Determine a taxa de variagão da temperatura no ponto
na diregio do eiso
.
Dada
Calcule e
.
Calcule
Dada
Mostre que e
são contínuas em
.
Mostre que
Um pintor cobra 4 reais por metro quadrado, para pintar as quatro paredes e o forro de um quarto. Se as dimensões do forro forem 4 m e 5 m , a altura medida for 3 m e essas medidas forem corretas até
, ache aproximadamente, usando a diferencial total, o erro máximo na estimativa do custo do trabalho com essas medidas.