Dada f(x, y) = { (x * y * (x^2 - y^2)) / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, (x, y) = (0, 0) }
Calcule fx e fy.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, f(x, y), definida de forma diferente para o ponto (0,0) e para todos os outros pontos. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais dessa função em relação a x, denotada por , e em relação a y, denotada por . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e trabalhar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x, ou seja, . Como a função é definida por partes, precisamos considerar dois casos: quando e quando .

Passo 3

Para o caso onde , temos:
Vamos calcular usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função , então sua derivada é:

Passo 4

Identificando e , calculamos as derivadas parciais de u e v em relação a x:

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:

Passo 6

Expandindo os termos:
Simplificando:

Passo 7

Portanto, temos:

Passo 8

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y, ou seja, . Usaremos o mesmo método da regra do quociente.

Passo 9

Identificando e , calculamos as derivadas parciais de u e v em relação a y:

Passo 10

Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:

Passo 11

Expandindo os termos:
Simplificando:

Passo 12

Portanto, temos:

Resposta

As derivadas parciais de f(x, y) são:
e

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