Dada
Calcule
e
.
Calcule
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, definida de forma diferente para o ponto
e para todos os outros pontos. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais dessa função em relação a
, denotada por
, e em relação a
, denotada por
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e trabalhar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Como a função é definida por partes, precisamos considerar dois casos: quando
e quando
.
Passo 3
Para o caso onde
, temos:
Vamos calcular
usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função
, então sua derivada é:
Passo 4
Identificando
e
, calculamos as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Passo 5
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Passo 6
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 7
Portanto, temos:
Passo 8
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usaremos o mesmo método da regra do quociente.
Passo 9
Identificando
e
, calculamos as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Passo 10
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Passo 11
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 12
Portanto, temos:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
e
Exercícios relacionados
Mostre que
é diferenciável em
.
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm , respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo
. Utilize a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cone.
A temperatura em um ponto
é dada por
, onde
é medido em
e
em metros. Determine a taxa de variagão da temperatura no ponto
na diregio do eiso
.
De acordo com a lei dos gases ideais para um gás confinado, se
newtons por metros quadrados for a pressão,
metros cúbicos for o volume e
graus for a temperatura, teremos a fórmula
onde
é uma constante de proporcionalidade. Suponha que o volume de um gás em certo recipiente seja
e que a temperatura seja
e
.
Ache a taxa de variação de por unidade de variacsão de
se
permanece fixo em
.
Ache a taxa de variação de