Dada f(x, y) = { (x * y * (x^2 - y^2)) / (x^2 + y^2), (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, (x, y) = (0, 0) }
Mostre que fx e fy são contínuas em (0,0).

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma função de duas variáveis, , definida de maneira diferente para e para . O objetivo é mostrar que as derivadas parciais de em relação a e , chamadas de e , são contínuas no ponto . Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de derivadas parciais, limites e continuidade de funções em várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e para . A função dada é:
Vamos derivar em relação a :
Para isso, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando os termos, obtemos uma expressão para em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aplicando novamente a regra do quociente:
Após simplificar, obtemos a expressão para em .

Passo 4

Para mostrar que e são contínuas em , precisamos verificar se os limites de e quando se aproxima de são iguais a e , respectivamente.
Primeiro, devemos calcular e . Como , as derivadas parciais nesse ponto são dadas pelos limites:

Passo 5

Agora, vamos analisar os limites de e quando se aproxima de . Observamos que, devido à presença do denominador , os termos ficam bem comportados à medida que .
Aplicando coordenadas polares, onde e , com :
Para :
Assim, é contínua em .
Para :
Portanto, também é contínua em .

Resposta

As derivadas parciais e são contínuas no ponto .

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