Dada
Mostre que
e
são contínuas em
.
Mostre que
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma função de duas variáveis,
, definida de maneira diferente para
e para
. O objetivo é mostrar que as derivadas parciais de
em relação a
e
, chamadas de
e
, são contínuas no ponto
. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de derivadas parciais, limites e continuidade de funções em várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
para
. A função dada é:
Vamos derivar
em relação a
:
Para isso, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando os termos, obtemos uma expressão para
em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando novamente a regra do quociente:
Após simplificar, obtemos a expressão para
em
.
Passo 4
Para mostrar que
e
são contínuas em
, precisamos verificar se os limites de
e
quando
se aproxima de
são iguais a
e
, respectivamente.
Primeiro, devemos calcular
e
. Como
, as derivadas parciais nesse ponto são dadas pelos limites:
Passo 5
Agora, vamos analisar os limites de
e
quando
se aproxima de
. Observamos que, devido à presença do denominador
, os termos ficam bem comportados à medida que
.
Aplicando coordenadas polares, onde
e
, com
:
Para
:
Assim,
é contínua em
.
Para
:
Portanto,
também é contínua em
.
Resposta
As derivadas parciais
e
são contínuas no ponto
.