A temperatura em um ponto é dada por , onde é medido em e em metros. Determine a taxa de variagão da temperatura no ponto na diregio do eiso .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função que representa a temperatura em um ponto no espaço tridimensional, dada por . A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial em várias variáveis, especificamente derivadas parciais e derivadas direcionais. O que precisamos fazer é encontrar a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do eixo .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de variação da temperatura na direção de um eixo. Isso se refere à derivada direcional da função na direção específica do eixo . A derivada direcional nos informa como a função está mudando à medida que nos movemos nessa direção.
Passo 3
Para calcular a derivada direcional, precisamos primeiro encontrar o vetor direcional. Já que queremos a direção do eixo , o vetor direcional é . Esse vetor indica que estamos nos movendo apenas na direção , sem variação em ou .
Passo 4
Em seguida, encontramos o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 5
Calculando :
Calculando :
Calculando :
Passo 6
No ponto , substituímos , e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente em é:
Passo 7
Agora, para encontrar a derivada direcional na direção do vetor , usamos a fórmula:
Resposta
A taxa de variação da temperatura no ponto na direção do eixo é °C/m.