Um pintor cobra 4 reais por metro quadrado, para pintar as quatro paredes e o forro de um quarto. Se as dimensões do forro forem 4 m e 5 m , a altura medida for 3 m e essas medidas forem corretas até
, ache aproximadamente, usando a diferencial total, o erro máximo na estimativa do custo do trabalho com essas medidas.
Passo 1
Então, vamos lá! O problema fala sobre um pintor que cobra 4 reais por metro quadrado para pintar as paredes e o forro de um quarto. As medidas dadas são 4 metros e 5 metros para o forro, e a altura é de 3 metros. Além disso, essas medidas podem ter um erro de até 0,5 cm. A gente vai usar o conceito de diferencial total para achar qual é o erro máximo que pode rolar no custo total do trabalho com essas medidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais áreas precisam ser pintadas. O pintor vai pintar as quatro paredes e o forro. Para isso, precisamos calcular a área das paredes e a área do forro.
Passo 3
Vamos calcular a área das quatro paredes. Se o quarto tem comprimento de 5 metros, largura de 4 metros e altura de 3 metros, cada par de paredes tem uma área de:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área do forro. A área do forro é simplesmente o comprimento vezes a largura:
Passo 5
Somando as áreas das paredes e do forro, a área total a ser pintada é:
Passo 6
O custo total sem considerar erros seria:
Passo 7
Agora, vamos considerar os erros nas medidas. As dimensões (comprimento, largura e altura) têm um erro de até 0,5 cm, que em metros é 0,005 m. Usaremos a diferencial total para estimar como esses erros afetam o custo.
Passo 8
A função que relaciona o custo é:
onde:
-
m (comprimento) -
m (largura) -
m (altura)
Passo 9
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
Passo 10
A diferencial total
é:
Passo 11
Como os erros máximos nos comprimentos são
m, substituímos:
Resposta
O erro máximo na estimativa do custo do trabalho é aproximadamente 0,78 reais.