Um pintor cobra 4 reais por metro quadrado, para pintar as quatro paredes e o forro de um quarto. Se as dimensões do forro forem 4 m e 5 m , a altura medida for 3 m e essas medidas forem corretas até , ache aproximadamente, usando a diferencial total, o erro máximo na estimativa do custo do trabalho com essas medidas.

Passo 1

Então, vamos lá! O problema fala sobre um pintor que cobra 4 reais por metro quadrado para pintar as paredes e o forro de um quarto. As medidas dadas são 4 metros e 5 metros para o forro, e a altura é de 3 metros. Além disso, essas medidas podem ter um erro de até 0,5 cm. A gente vai usar o conceito de diferencial total para achar qual é o erro máximo que pode rolar no custo total do trabalho com essas medidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais áreas precisam ser pintadas. O pintor vai pintar as quatro paredes e o forro. Para isso, precisamos calcular a área das paredes e a área do forro.

Passo 3

Vamos calcular a área das quatro paredes. Se o quarto tem comprimento de 5 metros, largura de 4 metros e altura de 3 metros, cada par de paredes tem uma área de:
Á²

Passo 4

Agora, vamos calcular a área do forro. A área do forro é simplesmente o comprimento vezes a largura:
Á²

Passo 5

Somando as áreas das paredes e do forro, a área total a ser pintada é:
Á²

Passo 6

O custo total sem considerar erros seria:
Áç²

Passo 7

Agora, vamos considerar os erros nas medidas. As dimensões (comprimento, largura e altura) têm um erro de até 0,5 cm, que em metros é 0,005 m. Usaremos a diferencial total para estimar como esses erros afetam o custo.

Passo 8

A função que relaciona o custo é:
onde:
  • m (comprimento)
  • m (largura)
  • m (altura)

Passo 9

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :

Passo 10

A diferencial total é:

Passo 11

Como os erros máximos nos comprimentos são m, substituímos:

Resposta

O erro máximo na estimativa do custo do trabalho é aproximadamente 0,78 reais.

Exercícios relacionados

Dada
Mostre que e são contínuas em .
De acordo com a lei dos gases ideais para um gás confinado, se newtons por metros quadrados for a pressão, metros cúbicos for o volume e graus for a temperatura, teremos a fórmula onde é uma constante de proporcionalidade. Suponha que o volume de um gás em certo recipiente seja e que a temperatura seja e .
Ache a taxa de variação de por unidade de variacsão de se permanece fixo em .
Dada
é diferenciável em ?
Em problemas envolvendo eletromagnetismo, o potencial elétrico nos permite conhecer algumas características do comportamento de partículas sujeitas a um campo elétrico. Suponha-se que o potencial elétrico atuando sobre uma partícula em um ponto ( ) do plano
seja dado por .
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a imagem da função .
O.
Ob.
Oc.
Od.
e.