De acordo com a lei de Weber-Fechner da psicologia experimental, a taxa de variação de uma reposta
em relação a um estímulo
é inversamente proporcional à intensidade do estímulo, ou seja
em que
é uma constante. Seja
o limiar de estímulo, ou seja, o maior estímulo para o qual não existe uma resposta (isso equivale a dizer que
para
). Resolva a equação diferencial separável acima em termos de
e
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve uma equação diferencial da lei de Weber-Fechner da psicologia experimental. O objetivo é encontrar a resposta
em função do estímulo
, usando a equação dada:
Para isso, vamos precisar conhecer técnicas de resolução de equações diferenciais separáveis e entender como aplicar condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a separação das variáveis. Temos:
Isso significa que a taxa de variação de
em relação a
é igual a
.
Passo 3
Como a equação é separável, podemos reorganizar os termos para isolar
de um lado e
do outro:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar
:
A integral de
é simplesmente
, e a integral de
é
. Então:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 5
Para encontrar o valor de
, usamos a condição inicial fornecida: quando
, a resposta
:
Resolvendo para
:
Passo 6
Substituímos o valor de
na expressão para
:
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 7
Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz
, obtemos:
Resposta
A solução da equação diferencial é: