De acordo com a lei de Weber-Fechner da psicologia experimental, a taxa de variação de uma reposta em relação a um estímulo é inversamente proporcional à intensidade do estímulo, ou seja
em que é uma constante. Seja o limiar de estímulo, ou seja, o maior estímulo para o qual não existe uma resposta (isso equivale a dizer que para ). Resolva a equação diferencial separável acima em termos de e .

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve uma equação diferencial da lei de Weber-Fechner da psicologia experimental. O objetivo é encontrar a resposta em função do estímulo , usando a equação dada:
Para isso, vamos precisar conhecer técnicas de resolução de equações diferenciais separáveis e entender como aplicar condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que facilite a separação das variáveis. Temos:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a é igual a .

Passo 3

Como a equação é separável, podemos reorganizar os termos para isolar de um lado e do outro:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar :
A integral de é simplesmente , e a integral de é . Então:
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 5

Para encontrar o valor de , usamos a condição inicial fornecida: quando , a resposta :
Resolvendo para :

Passo 6

Substituímos o valor de na expressão para :
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 7

Utilizando a propriedade dos logaritmos que diz , obtemos:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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