Um novo tratamento é aplicado a um tumor canceroso com um volume de 30 cm^3 ; t dias depois, observa-se que o tumor está variando a uma taxa dada por
V'(t) = 0,15 - 0,09 e^(0,006 t)
cm^3 por dia.
c. Para que o tratamento seja considerado um sucesso. é preciso que o tumor não leve mais de 90 dias para começar a diminuir. Com base nesse critério, o tratamento é um sucesso?

Passo 1

Resumo do problema: Temos um tumor com volume inicial de e a taxa de variação do volume em relação ao tempo é dada por
Queremos saber se o tratamento é um sucesso, ou seja, se o tumor começa a diminuir em no máximo 90 dias.
Conteúdo da matéria: Cálculo diferencial, especificamente análise de derivadas para determinar quando uma função está aumentando ou diminuindo.
O que vamos precisar: Resolver a equação para encontrar o tempo em que a taxa de variação do volume é zero (ponto de inflexão) e verificar se esse tempo é menor ou igual a 90 dias.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o tempo quando a taxa de variação do volume do tumor é zero. Isso significa que o tumor deixa de crescer e começa a diminuir.
Então, resolvemos a equação:

Passo 3

Isolando o termo exponencial:
Dividindo ambos os lados por 0,09:

Passo 4

Para resolver para , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Calculando o logaritmo:
Então:

Resposta

Como dias é menor que dias, o tratamento é considerado um sucesso, pois o tumor começa a diminuir em menos de 90 dias.

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