Um novo tratamento é aplicado a um tumor canceroso com um volume de 30 cm^3 ; t dias depois, observa-se que o tumor está variando a uma taxa dada por
V'(t) = 0,15 - 0,09 e^(0,006 t)
cm^3 por dia.
a. Escreva uma expressão para o volume do tumor após t dias

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre um tratamento aplicado a um tumor canceroso que começa com um volume de . Depois de dias, a taxa de variação do volume do tumor é dada por:
O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma expressão para o volume do tumor depois de dias. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especialmente a integração, que nos ajuda a encontrar a função original a partir de sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa. Essa é a taxa de variação do volume do tumor em relação ao tempo. Para encontrar o volume , precisamos “desfazer” essa derivada, ou seja, integrar em relação a .
Então, a expressão para será a integral de mais a condição inicial, que é o volume inicial do tumor.

Passo 3

Vamos escrever a integral:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. A integral de em relação a é simplesmente .
  2. A integral de em relação a :

Passo 5

Juntando as integrais, temos:

Passo 6

Podemos simplificar a expressão combinando os termos constantes:
Essa é a expressão que representa o volume do tumor após dias.

Resposta

A expressão para o volume do tumor após dias é:

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