Um novo tratamento é aplicado a um tumor canceroso com um volume de
dias depois, observa-se que o tumor está variando a uma taxa dada por
por dia.
b. Qual é o volume após 60 dias? E após 120 dias?
b. Qual é o volume após 60 dias? E após 120 dias?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tratamento para um tumor canceroso que inicialmente tem um volume de
. Depois de
dias, a taxa de variação desse volume é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial e Integral, especificamente com integração para encontrar o volume do tumor após certos dias. Vamos precisar integrar essa taxa de variação para achar a função volume
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
representa. É a derivada de
em relação ao tempo
, ou seja, a taxa de mudança do volume do tumor ao longo do tempo.
Para encontrar
, precisamos integrar
:
onde
é a constante de integração que vamos determinar com a condição inicial.
Passo 3
Vamos integrar a função
:
Vamos separar a integral:
Passo 4
Integrando cada termo:
Então, substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
:
Simplificando:
Passo 6
Então, a função que nos dá o volume do tumor ao longo do tempo é:
Podemos simplificar um pouco mais combinando termos:
Passo 7
Agora, vamos calcular o volume após 60 dias e após 120 dias, substituindo
pelos valores correspondentes.
Para
dias:
Calculando cada termo:
Então:
Para
dias:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
Após 60 dias, o volume do tumor é aproximadamente 32,5 cm³.
Após 120 dias, o volume do tumor é aproximadamente 32,18 cm³.
Após 120 dias, o volume do tumor é aproximadamente 32,18 cm³.
Exercícios relacionados
Um novo tratamento é aplicado a um tumor canceroso com um volume de
dias depois, observa-se que o tumor está variando a uma taxa dada por
a. Escreva uma expressão para o volume do tumor após
Um botânico descobre que certo tipo de árvore cresce de tal forma que a altura
após
anos está variando a uma taxa de
metros por ano. Se a árvore tinha 60 cm de altura quando foi plantada, que altura terá após 27 anos?
De acordo com a lei de Weber-Fechner da psicologia experimental, a taxa de variação de uma reposta
em relação a um estímulo
é inversamente proporcional à intensidade do estímulo, ou seja
em que
é uma constante. Seja
o limiar de estímulo, ou seja, o maior estímulo para o qual não existe uma resposta (isso equivale a dizer que
para
). Resolva a equação diferencial separável acima em termos de
e
.
Um novo tratamento é aplicado a um tumor canceroso com um volume de
dias depois, observa-se que o tumor está variando a uma taxa dada por
c. Para que o tratamento seja considerado um sucesso. é preciso que o tumor não leve mais de 90 dias para começar a diminuir. Com base nesse critério, o tratamento é um sucesso?