Um novo tratamento é aplicado a um tumor canceroso com um volume de 30 cm^3 ; t dias depois, observa-se que o tumor está variando a uma taxa dada por
V'(t) = 0,15 - 0,09 e^(0,006 t)
cm^3 por dia.
b. Qual é o volume após 60 dias? E após 120 dias?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tratamento para um tumor canceroso que inicialmente tem um volume de . Depois de dias, a taxa de variação desse volume é dada por:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Diferencial e Integral, especificamente com integração para encontrar o volume do tumor após certos dias. Vamos precisar integrar essa taxa de variação para achar a função volume .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa. É a derivada de em relação ao tempo , ou seja, a taxa de mudança do volume do tumor ao longo do tempo.
Para encontrar , precisamos integrar :
onde é a constante de integração que vamos determinar com a condição inicial.

Passo 3

Vamos integrar a função :
Vamos separar a integral:

Passo 4

Integrando cada termo:
Então, substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar . Sabemos que quando , :
Simplificando:

Passo 6

Então, a função que nos dá o volume do tumor ao longo do tempo é:
Podemos simplificar um pouco mais combinando termos:

Passo 7

Agora, vamos calcular o volume após 60 dias e após 120 dias, substituindo pelos valores correspondentes.
Para dias:
Calculando cada termo:
Então:
Para dias:
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

Após 60 dias, o volume do tumor é aproximadamente 32,5 cm³.
Após 120 dias, o volume do tumor é aproximadamente 32,18 cm³.

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