De acordo com uma das leis de Poiseuille, a velocidade do sangue à pressão constante a r centímetros do eixo central de uma artéria é dada por
v = K/L * (R^2 - r^2)
onde K é uma constante positiva, R é o raio da artéria e L é o comprimento da artéria. Suponha que o raio R e o comprimento L variam com o tempo de tal forma que a velocidade do sangue no eixo central da artéria se mantém constante, ou seja, que v não varia com o tempo. Mostre que, neste caso a taxa de variação relativa de L com o tempo é duas vezes maior que a taxa de variação relativa de R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve a Lei de Poiseuille, que descreve como o sangue flui através de uma artéria. A equação dada é:
Aqui, v é a velocidade do sangue a uma distância r do centro da artéria, K é uma constante positiva, R é o raio da artéria e L é o comprimento da artéria. O problema pede para mostrar que, se a velocidade no eixo central ( ) permanece constante mesmo com mudanças em R e L, então a taxa de variação relativa de L é duas vezes maior que a de R.
Vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada para encontrar como L e R mudam com o tempo.

Passo 2

Primeiro, como estamos falando da velocidade no eixo central da artéria, colocamos na equação:
Então, temos:

Passo 3

Como a velocidade v é constante no tempo, a sua derivada em relação ao tempo é zero:
Vamos derivar essa expressão. Primeiro, observe que K é uma constante, então podemos simplificar:

Passo 4

Aplicando a regra do quociente para derivadas, temos:
Simplificando a equação:

Passo 5

Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando:

Passo 6

Agora, queremos relacionar as taxas de variação relativas, ou seja, e . Vamos dividir ambos os lados da equação anterior por L:
Multiplicando ambos os lados por :
Ou seja:

Resposta

A taxa de variação relativa de L com o tempo é duas vezes maior que a taxa de variação relativa de R, ou seja:

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