De acordo com uma das leis de Poiseuille, a velocidade do sangue à pressão constante a
centímetros do eixo central de uma artéria é dada por
onde
é uma constante positiva,
é o raio da artéria e
é o comprimento da artéria. Suponha que o raio
e o comprimento
variam com o tempo de tal forma que a velocidade do sangue no eixo central da artéria se mantém constante, ou seja, que
não varia com o tempo. Mostre que, neste caso a taxa de variação relativa de
com o tempo é duas vezes maior que a taxa de variação relativa de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve a Lei de Poiseuille, que descreve como o sangue flui através de uma artéria. A equação dada é:
Aqui,
é a velocidade do sangue a uma distância
do centro da artéria,
é uma constante positiva,
é o raio da artéria e
é o comprimento da artéria. O problema pede para mostrar que, se a velocidade no eixo central (
) permanece constante mesmo com mudanças em
e
, então a taxa de variação relativa de
é duas vezes maior que a de
.
Vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente a derivada para encontrar como
e
mudam com o tempo.
Passo 2
Primeiro, como estamos falando da velocidade no eixo central da artéria, colocamos
na equação:
Então, temos:
Passo 3
Como a velocidade
é constante no tempo, a sua derivada em relação ao tempo é zero:
Vamos derivar essa expressão. Primeiro, observe que
é uma constante, então podemos simplificar:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente para derivadas, temos:
Simplificando a equação:
Passo 5
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, queremos relacionar as taxas de variação relativas, ou seja,
e
. Vamos dividir ambos os lados da equação anterior por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Ou seja:
Resposta
A taxa de variação relativa de
com o tempo é duas vezes maior que a taxa de variação relativa de
, ou seja: