Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taxa de
, formando um monte cônico. Se a altura do monte for o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará crescendo quando o monte tiver
de altura?
Passo 1
Vamos resumir o problema: Estamos lidando com taxas relacionadas em um monte cônico de areia. A areia está sendo despejada a uma taxa de
, formando um cone onde a altura
é o dobro do raio da base
. Precisamos descobrir a que taxa
a altura está aumentando quando
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e a fórmula do volume de um cone.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar a altura
e o raio
da base. Sabemos que
. Podemos expressar
em termos de
:
Passo 3
A fórmula do volume
de um cone é dada por:
Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Agora, derivamos ambos os lados em relação ao tempo
para encontrar a relação entre
e
:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Passo 5
Resolvendo para
:
Resposta
A altura do monte está aumentando a uma taxa de
metros por minuto quando o monte tem 8 metros de altura.