Uma certa quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10 m^3/min, formando um monte cônico. Se a altura do monte for o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará crescendo quando o monte tiver 8 m de altura?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Estamos lidando com taxas relacionadas em um monte cônico de areia. A areia está sendo despejada a uma taxa de , formando um cone onde a altura é o dobro do raio da base . Precisamos descobrir a que taxa a altura está aumentando quando . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de variação e a fórmula do volume de um cone.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a altura e o raio da base. Sabemos que . Podemos expressar em termos de :

Passo 3

A fórmula do volume de um cone é dada por:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Agora, derivamos ambos os lados em relação ao tempo para encontrar a relação entre e :
Sabemos que e . Substituindo:

Passo 5

Resolvendo para :

Resposta

A altura do monte está aumentando a uma taxa de metros por minuto quando o monte tem 8 metros de altura.

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