A população P de uma colônia de bactérias t dias após ser iniciado um experimento pode ser modelada pela função cúbica
P(t)=1,035 t^3+103,5 t^2+6.900 t+230.000
Com que taxa a população está variando após 1 dia? E após 10 dias?

Passo 1

Então, vamos lá! Você tem uma função que modela a população de uma colônia de bactérias ao longo do tempo em dias. A função é cúbica e está dada por:
O que a gente quer descobrir é como essa população está mudando após 1 dia e após 10 dias. Para isso, vamos precisar calcular a taxa de variação da população em relação ao tempo, ou seja, a derivada da função .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é derivada. Derivada é uma ferramenta da matemática que nos diz a velocidade com que uma função está mudando em um certo ponto. No nosso caso, queremos saber quão rápida a população de bactérias está crescendo em um dia específico.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função . A derivada de em relação a é representada por e podemos calcular termo a termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de (uma constante) é .
Então, a derivada completa fica:

Passo 4

Agora que temos a expressão para , podemos calcular a taxa de variação após 1 dia e após 10 dias. Basta substituir os valores de na derivada.
Primeiro, para :
Em seguida, para :

Resposta

A taxa de variação da população após 1 dia é aproximadamente bactérias por dia, e após 10 dias é aproximadamente bactérias por dia.

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