Uma viga com
está encostada em um aterro inclinado de
em relação à horizontal. Se o pé da viga estiver sendo movido horizontalmente em direção ao aterro a
, com que velocidade o topo da viga estará se deslocando quando o pé estiver a
do aterro?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos uma viga de 20 metros encostada em um aterro que está inclinado a 60 graus em relação à horizontal. O pé dessa viga está sendo movido na horizontal em direção ao aterro a uma velocidade de 1 metro por segundo. A pergunta é: com que velocidade o topo da viga está se movendo quando o pé estiver a 4 metros do aterro? Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo para representar a situação. A viga de 20 metros é a hipotenusa desse triângulo. O cateto horizontal é a distância do pé da viga ao aterro, que vamos chamar de x (em metros). O cateto vertical é a altura do topo da viga em relação ao aterro, que vamos chamar de y (em metros).
Passo 3
Sabemos, pelo Teorema de Pitágoras, que em um triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Então, temos a equação:
Ou seja:
Passo 4
Como o aterro está inclinado a 60 graus, podemos usar as relações trigonométricas para conectar x e y. A tangente de 60 graus é igual à razão entre o cateto oposto (y) e o cateto adjacente (x):
Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo t para relacionar as velocidades:
Sabemos que a velocidade com que o pé da viga está se movendo é:
Substituindo na equação:
Resposta
Quando o pé da viga estiver a 4 metros do aterro, o topo da viga estará se movendo para cima a uma velocidade de
metros por segundo.