Uma viga com 20 m está encostada em um aterro inclinado de 60 graus em relação à horizontal. Se o pé da viga estiver sendo movido horizontalmente em direção ao aterro a 1 m/s, com que velocidade o topo da viga estará se deslocando quando o pé estiver a 4 m do aterro?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos uma viga de 20 metros encostada em um aterro que está inclinado a 60 graus em relação à horizontal. O pé dessa viga está sendo movido na horizontal em direção ao aterro a uma velocidade de 1 metro por segundo. A pergunta é: com que velocidade o topo da viga está se movendo quando o pé estiver a 4 metros do aterro? Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas relacionadas e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo para representar a situação. A viga de 20 metros é a hipotenusa desse triângulo. O cateto horizontal é a distância do pé da viga ao aterro, que vamos chamar de x (em metros). O cateto vertical é a altura do topo da viga em relação ao aterro, que vamos chamar de y (em metros).

Passo 3

Sabemos, pelo Teorema de Pitágoras, que em um triângulo retângulo a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Então, temos a equação:
Ou seja:

Passo 4

Como o aterro está inclinado a 60 graus, podemos usar as relações trigonométricas para conectar x e y. A tangente de 60 graus é igual à razão entre o cateto oposto (y) e o cateto adjacente (x):
Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação ao tempo t para relacionar as velocidades:
Sabemos que a velocidade com que o pé da viga está se movendo é:
Substituindo na equação:

Resposta

Quando o pé da viga estiver a 4 metros do aterro, o topo da viga estará se movendo para cima a uma velocidade de metros por segundo.

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