De acordo com o princípio do balanço detalhado, válido no equilíbrio termodinâmico, se a flutuação
tem um valor
no tempo
e se em um tempo
uma variável
correlacionada
tem um valor
, então a transição de tempo revertido deve ocorrer igualmente frequente, isto significa que
Considerando que no regime linear da termodinâmica fora do equilíbrio os fluxos possuem uma relação linear com as forças da forma
demonstre que se o balanço detalhado é válido, os coeficientes fenomenológicos obedecem as seguintes relações
que são conhecidas como relações recíprocas de Onsager.
correlacionada
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado está pedindo. Estamos trabalhando com termodinâmica fora do equilíbrio, especificamente no regime linear. O exercício trata do princípio do balanço detalhado, que é válido no equilíbrio termodinâmico. Precisamos demonstrar que, se esse princípio é válido, então os coeficientes fenomenológicos obedecem as relações recíprocas de Onsager, ou seja,
.
Para resolver, vamos precisar entender:
- O que é o princípio do balanço detalhado.
- Como os fluxos
se relacionam com as forças através dos coeficientes . - Como aplicar o balanço detalhado para mostrar que
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o princípio do balanço detalhado. Esse princípio afirma que, no equilíbrio, a taxa de transições de um estado
para um estado
é igual à taxa de transições de
para
. Matematicamente, isso é representado por:
Isso significa que as correlações temporais entre as variáveis
e
são simétricas no equilíbrio.
Passo 3
Em seguida, consideramos a lei de fluxo no regime linear da termodinâmica fora do equilíbrio. Os fluxos
estão relacionados linearmente com as forças
por:
Aqui,
são os coeficientes de acoplamento que relacionam as forças e os fluxos.
Passo 4
Queremos demonstrar que, se o princípio do balanço detalhado é válido, então
. Para isso, vamos utilizar a relação entre as correlações das flutuações e os coeficientes
.
No regime linear, as correlações de flutuação estão relacionadas aos coeficientes
pela fórmula:
E similarmente:
Onde
é a função delta de Dirac, que é simétrica em relação a
.
Passo 5
De acordo com o balanço detalhado, temos:
Substituindo as expressões das correlações, obtemos:
Como a função delta
não é zero, podemos cancelar ambos os lados, resultando em:
Resposta
Portanto, demonstramos que se o balanço detalhado é válido no equilíbrio termodinâmico, os coeficientes fenomenológicos obedecem as relações recíprocas de Onsager: