Considere um sistema isolado no qual ocorre flutuação de temperatura em uma pequena parte desse sistema. Demostre que esta flutuação está relacionada com a variação de segunda ordem da entropia no equilíbrio de acordo com
onde a capacidade térmica a volume constante definida na relação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema isolado onde rola uma variação de temperatura numa partezinha dele. A gente precisa mostrar que essa variação de temperatura está relacionada com a variação de segunda ordem da entropia no equilíbrio, usando a equação dada. Vamos usar conceitos de Termodinâmica, especificamente sobre entropia e capacidade térmica a volume constante. Para resolver, vamos precisar entender como a entropia se comporta em torno do equilíbrio e como a capacidade térmica entra nessa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um sistema isolado, a energia total
e o volume
são constantes. A entropia
é uma função de estado que depende de
e
. Quando temos uma pequena variação de energia
e, consequentemente, uma variação de temperatura
, queremos ver como isso afeta a entropia.
Passo 3
Vamos considerar uma expansão de Taylor da entropia em torno do ponto de equilíbrio, mantendo
constante:
No equilíbrio, a primeira derivada
é zero, pois é onde a entropia é máxima. Assim, a variação de entropia fica:
Passo 4
Sabemos que a capacidade térmica a volume constante é definida por:
Isso significa que uma variação de temperatura
resulta em uma variação de energia:
Passo 5
Vamos substituir
na expressão da variação de entropia:
Ou seja:
Passo 6
Para prosseguir, precisamos relacionar a segunda derivada da entropia com a temperatura. Sabemos que a primeira derivada da entropia em relação à energia é inversamente proporcional à temperatura:
Tomando a derivada dessa expressão em relação a
:
Usando a definição da capacidade térmica:
Então:
Passo 7
Substituindo essa expressão na variação de entropia:
Simplificando:
Passo 8
Portanto, mostramos que a variação de segunda ordem da entropia é:
Resposta
A variação de segunda ordem da entropia no equilíbrio está relacionada à flutuação de temperatura pela expressão: