Considere um sistema isolado no qual ocorre flutuação de temperatura em uma pequena parte desse sistema. Demostre que esta flutuação está relacionada com a variação de segunda ordem da entropia no equilíbrio de acordo com
12 de
onde a capacidade térmica a volume constante definida na relação de.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um sistema isolado onde rola uma variação de temperatura numa partezinha dele. A gente precisa mostrar que essa variação de temperatura está relacionada com a variação de segunda ordem da entropia no equilíbrio, usando a equação dada. Vamos usar conceitos de Termodinâmica, especificamente sobre entropia e capacidade térmica a volume constante. Para resolver, vamos precisar entender como a entropia se comporta em torno do equilíbrio e como a capacidade térmica entra nessa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um sistema isolado, a energia total e o volume são constantes. A entropia é uma função de estado que depende de e . Quando temos uma pequena variação de energia e, consequentemente, uma variação de temperatura , queremos ver como isso afeta a entropia.

Passo 3

Vamos considerar uma expansão de Taylor da entropia em torno do ponto de equilíbrio, mantendo S(U) approx S(U0) + ( partial Spartial U )V de constante:
de
No equilíbrio, a primeira derivada é zero, pois é onde a entropia é máxima. Assim, a variação de entropia fica:

Passo 4

Sabemos que a capacidade térmica a volume constante é definida por:
CV = ( partial Upartial T )V
Isso significa que uma variação de temperatura de resulta em uma variação de energia:

Passo 5

Vamos substituir de na expressão da variação de entropia:
de
Ou seja:

Passo 6

Para prosseguir, precisamos relacionar a segunda derivada da entropia com a temperatura. Sabemos que a primeira derivada da entropia em relação à energia é inversamente proporcional à temperatura:
( partial Spartial U )V = 1T
Tomando a derivada dessa expressão em relação a ( partial^2 Spartial U^2 )V = -1T^2 ( partial Tpartial U )V :
( partial Tpartial U )V = 1CV
Usando a definição da capacidade térmica:
( partial^2 Spartial U^2 )V = -1T^2 CV
Então:

Passo 7

Substituindo essa expressão na variação de entropia:
de
Simplificando:
de

Passo 8

Portanto, mostramos que a variação de segunda ordem da entropia é:
12 de

Resposta

A variação de segunda ordem da entropia no equilíbrio está relacionada à flutuação de temperatura pela expressão:
12 de

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