De acordo com a teoria de Planck da radiação de corpo negro, a emitância espectral radiativa é dada pela fórmula
onde
é o comprimento de onda da radiação,
é a constante de Planck,
é a constante de Boltzmann, c é a velocidade da luz, e T é a temperatura na escala Kelvin. Considere T como constante e encontre uma equação que forneça o comprimento de onda de máxima emitância.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos a fórmula da emitância espectral radiativa de um corpo negro baseada na teoria de Planck:
Queremos encontrar uma equação que nos dê o comprimento de onda (
) em que a emitância é máxima, ou seja, o valor de
que faz com que
seja o maior possível. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar esse ponto de máximo.
Passo 2
Para encontrar o comprimento de onda que maximiza a emitância, precisamos derivar a função
em relação a
e igualar essa derivada a zero. Isso porque, nos pontos de máximo ou mínimo, a inclinação da função é zero.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
. Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação:
Usando a regra do quociente e a regra da cadeia, derivamos:
Após simplificar a derivada e igualar a zero, obtemos uma equação que relaciona
com as constantes envolvidas.
Passo 4
Resolvendo a equação derivada igual a zero, encontramos que o comprimento de onda de máxima emitância está relacionado inversamente com a temperatura. A equação resultante é conhecida como Lei de Deslocamento de Wien:
Onde
é a constante de deslocamento de Wien, dada por:
E
é a solução da equação transcendental que surge da derivação.
Resposta
A equação que fornece o comprimento de onda de máxima emitância é:
onde
, com
sendo uma constante aproximadamente igual a 2.898 × 10⁻³ m·K.
Exercícios relacionados
Utilize as Equações 7 para determinar
e
.
Usando o axioma (PBO), mostre que todo subconjunto não vazio de
tem elemento mínimo.
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.