Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a Regra da Cadeia para determinar
ou
. A gente tem as seguintes funções:
Matéria envolvida: Derivadas de funções compostas usando a Regra da Cadeia.
O que vamos precisar: Saber como aplicar a Regra da Cadeia para derivar funções que dependem de outras funções.
Passo 2
Vamos decidir qual derivada calcular. Como
é uma função direta de
, calcular
é simples. Porém, para te mostrar mais coisa, vamos calcular
, que envolve a Regra da Cadeia.
Passo 3
Primeiro, identificamos que
é uma função de
e
, e tanto
quanto
são funções de
. Então, para encontrar
, usamos a seguinte forma da Regra da Cadeia:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais e derivadas em relação a
:
-
Derivada parcial de
em relação a : Isso porque usamos a regra do produto e a derivada da exponencial. -
Derivada parcial de
em relação a : Aqui,é derivada em relação a , trazendo o fator . -
Derivada de
em relação a : Já que. -
Derivada de
em relação a : Porque.
Passo 5
Agora, substituímos todas as derivadas encontradas na expressão da Regra da Cadeia:
Passo 6
Podemos simplificar um pouco a expressão fatorando
:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na expressão:
Passo 8
Vamos simplificar a parte dentro dos parênteses:
Então:
Expande:
Simplificando mais: