Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt.
w = x * e^(x * z), x = t^2, y = 1 - t, z = 1 + 2 * t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a Regra da Cadeia para determinar ou . A gente tem as seguintes funções:
Matéria envolvida: Derivadas de funções compostas usando a Regra da Cadeia.
O que vamos precisar: Saber como aplicar a Regra da Cadeia para derivar funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Vamos decidir qual derivada calcular. Como é uma função direta de , calcular é simples. Porém, para te mostrar mais coisa, vamos calcular , que envolve a Regra da Cadeia.

Passo 3

Primeiro, identificamos que é uma função de e , e tanto quanto são funções de . Então, para encontrar , usamos a seguinte forma da Regra da Cadeia:

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais e derivadas em relação a :
  1. Derivada parcial de em relação a :
    Isso porque usamos a regra do produto e a derivada da exponencial.
  2. Derivada parcial de em relação a :
    Aqui, é derivada em relação a , trazendo o fator .
  3. Derivada de em relação a :
    Já que .
  4. Derivada de em relação a :
    Porque .

Passo 5

Agora, substituímos todas as derivadas encontradas na expressão da Regra da Cadeia:

Passo 6

Podemos simplificar um pouco a expressão fatorando :

Passo 7

Agora, substituímos e na expressão:

Passo 8

Vamos simplificar a parte dentro dos parênteses:
Então:
Expande:
Simplificando mais:

Resposta

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