Utilize as Equações 7 para determinar partial z / partial x e partial z / partial y.
x-z=arctg(y z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e na equação . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas implícitas, onde é uma função de e . Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e diferenciar ambos os lados da equação em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação:
x - z = arctan(yz)
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma função de e .

Passo 3

Diferenciando em relação a partialpartial x(x) - partialpartial x(z) = partialpartial x(arctan(yz)) :
1 - partial zpartial x = 11 + (yz)^2 cdot ( y cdot partial zpartial x )
Isso fica:
Aqui, usei a regra da cadeia para a derivada da função .

Passo 4

Vamos isolar 1 - partial zpartial x = y1 + y^2 z^2 cdot partial zpartial x :
1 = partial zpartial x ( 1 + y1 + y^2 z^2 )
Colocando todos os termos com de um lado:

Passo 5

Simplificando a equação para encontrar partial zpartial x = 11 + y1 + y^2 z^2 :
partial zpartial x = 1 + y^2 z^21 + y^2 z^2 + y

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para partialpartial y(x) - partialpartial y(z) = partialpartial y(arctan(yz)) . Diferenciando a equação inicial em relação a 0 - partial zpartial y = 11 + (yz)^2 cdot (z + y cdot partial zpartial y) :
Isso resulta em:

Passo 7

Isolando -partial zpartial y = z1 + y^2 z^2 + y1 + y^2 z^2 cdot partial zpartial y :
-partial zpartial y - y1 + y^2 z^2 cdot partial zpartial y = z1 + y^2 z^2
Rearranjando os termos:

Passo 8

Fatorando partial zpartial y ( -1 - y1 + y^2 z^2 ) = z1 + y^2 z^2 :
partial zpartial y = z1 + y^2 z^2 -1 - y1 + y^2 z^2
Finalmente, isolando partial zpartial y = - z1 + y + y^2 z^2 :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 1 + y^2 z^21 + y^2 z^2 + y
partial zpartial y = - z1 + y + y^2 z^2

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