Usando o axioma (PBO), mostre que todo subconjunto não vazio de Z+ tem elemento mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Princípio do Bom Ordenamento (PBO) para mostrar que todo subconjunto não vazio dos números inteiros positivos, representado por Z+, tem um elemento mínimo. Basicamente, vamos provar que em qualquer grupo de números positivos que não esteja vazio, sempre existe o menor número desse grupo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o PBO e como ele garante a existência de um elemento mínimo.

Passo 2

Primeiro, vamos falar um pouco sobre o Princípio do Bom Ordenamento (PBO). Esse princípio afirma que todo conjunto não vazio de números inteiros positivos tem um menor elemento. Isso significa que, se você tiver um grupo de números positivos sem vazio, sempre vai ter pelo menos um número que é menor ou igual a todos os outros do grupo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o PBO ao subconjunto não vazio de Z+. Seja A um subconjunto não vazio de Z+. De acordo com o PBO, como A não está vazio e está dentro dos inteiros positivos, existe pelo menos um número no conjunto A que é menor ou igual a todos os outros números de A.

Passo 4

Esse número menor mencionado é o elemento mínimo de A. Ou seja, existe um elemento tal que para todo a in A, . Portanto, A possui um elemento mínimo, conforme o que queríamos demonstrar.

Resposta

Assim, usando o Princípio do Bom Ordenamento (PBO), mostramos que todo subconjunto não vazio de Z+ tem, de fato, um elemento mínimo.

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